文档介绍：第三章连续型随机变量教学Id的使学员拿握一、二维分布函数的定义及性质使学员熟练掌握一维连续型分布函数为密度函数的关系,熟悉均匀分布,指数分布,「-分布的密度。使学员熟记正态密度及其性质,牢固掌握正态分布表的查法。使学员学握二维连续型随机变量联合分布(密度)与边际分布(密度)的概念及计算,了解条件分布的概念。使学员牢固拿握连续型随机变量独立性的概念及判别。使学员掌握一、二维连续型随机变量函数的分布,熟记力-/,F分布的构造性定理(了解其推导)使学员牢固掌握连续型随机变量期望、方差的定义、性质,熟记止态分布的期望、方差、均方差,掌握随机变量协方差(含协方差阵)相关系数,矩概念,了解条件期望的概念。掌握一维随机变量特征函数的立义及性质,熟记单点分布,二项分布、止态分布的特征函数,了解有关结论的推导,了解逆转公式,理解唯一•性定理的含义。§(G,F,P)是一•个概率空间,对于qwG,歹(C)是一个収实值的单值函数,对任意的BwB],有则称为(Q,F)上的一个(实)随机变量。上而的B,表上的Borel<7•-域A由B|的构成可见{C肓W(-oo,X)}={歹YX}是一个事件,这个事件的概率是研究貞0)的统计规律的基础,这个概率显然与X冇关,是X的函数,我们称它为歹(©)的分布函数。'(O,F,P)是一-概率空I'可,g为楚义在(Q,F)上的随机变量,我们称(3J)()()()F(x)=P(gYX) xeR1是随机变量的概率分布函数,。由概率测度的性质易推出,&)是mg的d./,则有(1) 对任意实数坷Y七,有F(E)<F(x2),(单调不减性)(2) F(-oo)=limF(x)=0,()F(+oo)=limF(x)=1X-»-<20 XT炖(3) 对一切xeR],F(x-0)=F(x)(左连续性)证:(1)由(歹Yxju(占Y兀2)可得(2)由分布函数的定义^0<F(x)<l,rtl(1)F(x)又是单调函数,故有limF(x)=limF(m),limF(x)=limF(n)(m,n为整数)XT-8 加T-8 JVT+8 7?->+CO由概率的可列可加性有1二p{—ooYgY+oo}=p{E(£S歹Y£+1)}二工p(kfk+l)=処立gYR+l)=lim±[F(k+1)-F(P)]k=m k=mm+oo 〃一>+oo=limF(n)-limF(m)XT+8 加一>一8所以必有limF(m)=limF(x)=0加TYO X->-0ClimF(n)=limF(x)=1m+oo 加t+oo(3)因F(x)单调有界,所以对•任一实数点兀,F&)的左极限存在,且F(x-0)=limF(x“)=lim )xnTX "TOO其中X]Y兀2Y…Y£Y >X(7?Too)00乂因为(坷5歹YX)=工(林<§YX,+1)k=\由概率的可列可加性卩(禹yx)=£p(忑SgY®+Jk^\由上述消去F(x,)得F(x)=limF(xJ=F(x-0)—8反过來,也能证明,满足上述(1)——(3)的函数是一个概率分布函数。对任意由上述可知,分布函数是一种分析性质良好的函数,便于处理。易验,fieB,gB)nJ*用§的d..f农示出來。00由(^<x)=p歹n=lYX+丄]及概率的连续性得刃丿()()()()()其分布可见分布函数F(x)全血描述了随机变最的统计规律,对于离散型随机变最來说,P{^<x}=limP^^x+-[=limF|x+丄]=F(x+O)“T8 [ n“TOOInJF(§ax)=1-F(jc+0)F(^>x)=l-F(x)F(^=x)=F(x+O)-F(x)F(x(Y歹Y F(兀2)-F(兀]+0)列和分布函数是一一对应可互推的,但在离散型场合,我们用分布列更方便。(假处每个格子装任意多质点)以§表空格数,求§的分布列及分布函数。并求P(-3y§y2)。解:显然纟的的可能取值为0,1,2,……02-98-9即§012P221939其分布函数为x<()O^x<l1yxS2XA2P(-3Ygy2)=F(2)-F(-3+可见离散型分布函数是一个阶梯函数,(g=6?)=1x<axAaF(x) 正好是示性函数l{x-a)。§,F(x)是它的分布函数,如果存在可积函数P(x),使对任意()F&)二£P(y)dy则称負0)为连续型随机变量,相应的尸⑴称为连续型分布函数,同时称HE为F(x)的概率密度函数,简称密度。