文档介绍：几何体的一种构造——单纯体
(金飞天津南开大学 300071)
我们学****了几何学,对几何体有了一定的了解,当我们知道三维空间中只有五种正多面体时,不禁被它的神秘所吸引。你是否有一种想进一步了解它的冲动呢?我们下面要研究的是一种特殊的几何体——单纯体。单纯体即每个面均为相同多边形的多面体(可以是凹多面体也可是凸多面体)。
我们将会证明,只有三角形、四边形和五边形才可能构成单纯体,并着重讨论四边形构成单纯体的情况,包括完成菱形多面体的分类和讨论一般四边形构成单纯体的情况。对于筝形构成单纯凸多面体的分类,我们也已研究清楚,另文发表。
菱形多面体
为说明如何用菱形构造单纯体,我们先来了解它的一个特例——正6面体(即正方体,它的每个面均是正方形,而正方形是一种特殊的菱形)。如下图,容易知道连接正6面体的一组“面对角线”得到一个正4面体,因此正6面体可以这样构造出:在正4面体的每一条棱上均添加一个相同的正方形,使得正方形的对角线与正4面体的棱重合。
类似地,在正6面体或正8面体的棱上添加适当的菱形可得到菱形12面体,如下图所示:
同样地,在正12面体或正20面体的棱上添加适当的菱形可得菱形30面体,如下图所示:
将所得多面体列表如下:
正多面体
棱上添加
所得多面体
所得多面体的顶点数
所得多面体的棱数
所得多面体的面数
正4面体
正方形
正6面体
8
12
6
正6面体
菱形
菱形12面体
14
24
12
正8面体
菱形
菱形12面体
14
24
12
正12面体
菱形
菱形30面体
32
60
30
正20面体
菱形
菱形30面体
32
60
30
由以上归纳,我们给出一类新的多面体的定义——菱形多面体。
菱形多面体:即每个面均为相同菱形的凸多面体。
以上的几种菱形多面体人们早已发现,那么菱形多面体有多少种呢?前人并没有论述。
下面,我们讨论了关于菱形多面体的分类,得到如下定理。
定理:菱形多面体仅有五种,它们是菱形六面体、菱形十二面体、伴菱形十二面体、菱形二十面体和菱形三十面体。
证明:以下分四种情况讨论
(一) 若每个顶点周围仅有三个面
菱形多面体的每个面均为四边形,则有 4F=2E (1)
每个顶点周围有三个面,则有 3V=2E (2)
欧拉公式 V—E+F=2 (3)
由(1)、(2)、(3)可得 V=8 、 E=12 、 F=6 对应的多面体为菱形6面体。
如下图:
(二)若有一顶点,其周围有四个面
则这个顶点周围的四个角的组合有以下几种情况:
这个顶点这周围有四个锐角
P
B
C
A
D

E
G

图-1
H
F
如图-1,易知,A、B、C、D四点最多再接一个菱形,否则该点周围面角之和将不小于360度。
若A、B、C、D点都接菱形锐角,即∠EBF=∠FCG=∠GDH=∠HAE均为锐角,由对称性可知A、B、C、D共面,且BC∥AD,如图-2考察四边形ABCD,AB=BC=CD=AD=AC=BD,易知,四边形ABCD不存在,所以这种情况不行。
C
B
D
A
图-2
若B点接锐角,C点接钝角。即∠EBF为锐角,∠FCG为钝角,由平行线所夹角的关系可得∠GDH=∠EBF,∠HAE