文档介绍：双曲线的几何性质
忠县拔山中学校——张忠梁
1、范围:
方程在直线在之间图象
没有
将方程化为
因为
所以
于是,双曲线上点的坐标(x,y)都适合
即
所以
2、对称性:
1)几何法
观察双曲线的形状,可以发现双曲线既是 A
轴对称图形
又是 A
中心对称图形
实轴长: A
2、对称性:
2)代数法
1)将方程的x用一x代替,方程不变,双曲线关于对称
2)将方程的y用一y代替,方程不变,双曲线关于对称
3)将方程的x和y分别用一x和一y代替,方程不变,双曲线
关于对称
y轴
x轴
原点
是双曲线的对称轴,
是双曲线的对称中心,
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
坐称轴
原点
3、顶点:
令
得
因此,双曲线和x轴有两个交点
双曲线的实轴: A
双曲线的虚轴: A
虚轴长: A
双曲线和y轴有两个虚交点
实半轴长: A
虚半轴长: A
实轴与虚轴等长的双曲线
叫等轴双曲线
特殊:
与这两条直线 A
的平行线。
1)渐近线的含义:
4、渐近线:
,经过A1(-3,0),A2(3,0)
也可以看到,双曲线
的各支向外延伸时,
对于双曲线
2)渐近线的求法
的渐近线的方程是
双曲线
作y轴的平行线
经过B1(0,-2),B2(0,2)作x轴
角线所在直线的方程是
逐渐接近
四条直线围成一个矩形,
矩形的两条对
的渐近线的方程是
双曲线
利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图
双曲线的渐近线方程
对于双曲线,把方程右边的
“1”换成“0”,得双曲线渐近线方程为
思考:对于双曲线的渐
近线有怎样的结论呢?
5、离心率:
因为c>a>0,所以离心率的取值范围是: 。
1)离心率:
双曲线的焦距与实轴的比
2)双曲线的离心率对所代表双曲线的形状的影响
由于
所以e越大, 也越大,
即渐近线的斜率绝对值越大
这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔,
结论:双曲线的离心率越,
大
它的开口就越。
开阔
注意:焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出,双曲线的几何性质与坐标系的选择无关,即不随坐标系的改变而改变.
等轴双曲线的离心率e= ?
A1
A2
B1
B2
a
b
c
x
0
y
几何意义
例3:求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
1)
2)
分析:把方程化为标准方程
解:1)把方程化为标准方程
由此可知,实半轴长a=4,虚半轴长b=3;
焦点坐标是(0,一5),(0,5);
离心率
渐近线方程为
例3:求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
1)
2)
解:2)把方程化为标准方程
分析:把方程化为标准方程
由此可知,实半轴长a=2,虚半轴长b=2;
焦点坐标是, ;
离心率
渐近线方程为
练习1:求下列双曲线的实轴、虚轴的长,顶点、焦点的坐标和离心率及渐近线:
1)
2)
3)
分析:把方程化为标准方程
解:1)把方程化为标准方程
由此可知,实半轴长a= ,虚半轴长b=2;
焦点坐标是(0,一6),(0,6);
渐近线方程为
离心率
顶点坐标为