向量在平面几何中的应用.doc

文档介绍：向量在平面几何中的应用
( 常州市青龙中学陈华 2007-12-27)
教学目标:,将平面几何问题转化为向量问题;
,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
。
教学重难点:用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题。
教学过程:
知识回顾
复****下面问题为向量在平几中的应用提供理论依据。
向量的运算:
(主要复****向量的数量积中向量夹角的求法,模的计算方法,向量垂直的等价形式)
向量共线定理:

(为证平行及平行条件的使用做依据)
平面向量基本定理:

我们知道,向量来源于物理,通过我们数学的研究,反过来为物理服务,同时,向量作为一种数学工具,在数学中也有广泛的应用,这节课,我们来研究向量在平几中的应用。我们知道,平面几何主要研究平面上点、线的位置关系和数量关系---距离和角,平行和垂直,而这些问题都可以通过向量来解决。我们首先来看平几中最简单的图形,也是向量加减法的模型----三角形中的一个问题:
数学应用
已知⊿ABC中,∠BAC=60o,AB=4,AC=3,求BC长。
A
B
C
60O
在这题中指出,(1)平几中求线段的长度问题在向量中就是求向量的模的问题
(2)解题的关键是选择基向量
(3)是选择基向量的关键又是两向量的模,夹角确定
A
B
C
60O
D
变式:已知⊿ABC中,∠BAC=60o,AB=4,AC=3,点D在线段BC
上,且BD=2DC求AD长。
(1)该问题在平几中不易解决,把
(2)在例二讲完后指出该题也可以用建坐标系解决
如图,已知Rt⊿OAB中,∠AOB=90o,OA=3,OB=2,M在OB
上,且OM=1,N在OA上,且ON=1,P为AM与BN的交点,求∠MPN。
(1)本题可以选择,发现是两个互相垂直的单位向量
后选择建立平面直角坐标系更方便,突出了坐标系的本质是特殊的基向量。
A
O
B
M
N
P
(2)把求角的问题转化为向量的夹角问题。从中体会简洁的美。
指出为什么一定要转化为这两个向量的夹角。
小结:用向量法解决平面几何问题的一般步骤:用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,把平几问题转化为向量问题。选择基向量或建坐标系后用向量(基向量或坐标)表示问题中涉及的几何元素;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果“翻译”成几何元素。
简述:形到向量向量的运算向量和数到形
⊿ABC中,AD,BE是中线,AD,BE相交于点G
求证:AG=2GD
若F为AB中点,求证G、F、C三点共线。
A
F
B
D
C
E
G
(1)通过该题指出解决三点共线问题的处理方法,给出三点共线
如何转化,如何证明三点共线。如何证明三点共线的倍数关系
问题。
(2)从中体会对称的美。
A
B
F
D
C
E
课后练****br/>矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E为BC中点,
F在AB上且AF=。求证:AE⊥DF。
通过该题和变式,练****用向量处