文档介绍：定积分的几何应用
一、平面图形的面积
1 直角坐标系
作为一般情况讨论,设平面图形由[ a , b ] 上连续的两条曲线 y = f ( x ) 与 y = g ( x )
及两条直线 x =a ,x =b 所围成
在[a ,b ] 上任取典型小区间[ x ,x+dx ]
与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量dA
dA 可用高为
底为 dx 的矩形面积
近似表示
即
故
a
b
当 dx 很小时
所围成的图形的面积
解
为确定图形的存在区间
由联立方程组解得交点
A(-1,1) B(1,1)
故
例1 求两曲线
所围图形的面积
解
首先定出图形所在的范围
解得交点为(2,-2)和(8,4)
若取 x 为积分变量在[x,x+dx] 上取部分量
则对于 x 的不同值局部量的位置不同其上、下曲边有多种情况运用上述公式计算较为复杂
如下图
例2 计算
以 y 为变量计算将会简单
在[-2,4] 上任取一小区间
其上相应的窄条左、右曲边分别为
但若将这一面积看作是分布在区间[ -2,4] 上
由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使计算简化
上述问题的一般情况是
平面区域由[c,d] 上连续的曲线
及直线y = c ,y = d 所围成
则其面积为
c
d
当直角坐标系下的平面区域的边界曲线由参数方程的形式给出时,只须对面积计算公式作变量代换即可。
计算时应注意积分限在换元中应保持与原积分限相对应。
例3
求椭圆
的面积
解
由对称性面积A等于椭圆在第一象限内的部分的面积的4倍
即
设 f ( x ) 在[ a ,b ] 上连续,在( a, b ) 内有
证明
存在唯一的
使曲线 f(x )与两直线
所围图形的面积
是 y = f ( x ) 与两直线
所围图形面积
的3倍
证
例4
故由零点定理知
又
令