文档介绍：§5黎曼几何初步一、黎曼空间[黎曼空间及其度量张量]若n维空间Rn中有一组函数gj(xi)=gji(x‘),使得两邻点x‘,x1+dxi之间的距离ds由一个正定二次型ds=gij(x)dxdx决定,则称空间Rn为黎曼空间,=gijxdxidxj而任一曲线xi=xi(t)(aU<b)的弧长为积分dxidxj、gijxtdtdtdt因为在坐标变换x'=x1x12,下,ds为一个不变重,:x:xg『=gj一i•一j・:xex这表明gij(x)为一个二阶协变张量的分量,它称为黎曼空间 vn的度量张量或基本张量.[欠量的长度•两欠量的标量积和火角•伴随张量]在黎曼空间中关丁标量(场)、欠量(场)、张量(场)等的定义类似前面各节,{a4是一个逆变欠量,则其长度的平方为gijaa设幻}与仙}是两个逆变欠量,}与虹}都是协变欠量,gija=aj ,gijb=bj它们的长度与标量积分别为ijj =aja,gjab=ajb张量Tikj的伴随张量为Tijk=gikT"j,Tijk=gljT「lk式中glj满足等式giiglj=«式中6ij为克罗内克尔符号.「jk,满足[黎曼联络与克里斯托弗尔符号]在黎曼空间中总可以用唯一的方式确定联络条件:仿射联络是无挠率的,即Ljk=「--ij,l=gik-ij则有r_1;钮+榆『功寸]ij,i一;ItttttZ[& ex ex有时用下面的记号:ij,i】=「t,i和':}=「「它们分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔三指标符号 .此外,还有等式'gij -l -lk-gji-ki-g■-灯=°-X;gk"jX还要指出,§4中关丁协变微分法的一切结果,对黎曼联络Ljk都成立.、勒维-奇维塔的平行性仿射联络空间中的平行移动,是由仿射联络「,利用黎曼联络rjk来定义相应的平■行移动称为V的勒维—奇维塔平■行移动设沿Vn中某一曲线x1=xi(t)^<i<b)给定了欠量场a’=a‘(t),如果沿这条曲线作一无穷小位移时,欠量ai(t)按规律kDakdadtdt-ki■-ijadxjdt=0变化,则称欠量ai(t)沿曲线作勒维—奇维塔平■行移动勒维-奇维塔平行移动具有性质:-度量张量gj的协变导数等丁零,即'gij .l .lc、kgu=—-gji-ki-gii-kj=0一x还有 k、•;=0, '、kgj=0■ i i 若两族欠量a(t)和b(t)都沿曲线平■行移动,贝Udgija'bj1=0dt所以两*量的标量积与火角在平行移动下保持不变 .黎曼空间寸中的自平■行曲线(也称为测地线)和仿射联络空间中自平■行曲线的情况完全一样,都由微分方程d2xi idxjdxk -ds2 *dSdS=,■、,运算"七-七残作用丁欠量{a