文档介绍：平面向量与解析几何交汇的综合问题
设计立意及思路
向量具有代数与几何形式的双重身份,故它是联系多项知识的媒介,成为中学数学知识的一个交汇点,数学高考重视能力立意,在知识网络的交汇点上设计试题,因此,解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。而学生普遍感到不适应,因此,我们在解析几何复面向量的基本方法。本专题就以下两方面对平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习;1、以向量为载体,求轨迹方程为命题切入点,综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义,平面向量的数量积及其几何意义,圆锥曲线的定义。2、以向量作为工具考查圆锥曲线的标准方程和几何性质,直线与圆锥曲线位置关系,曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
高考考点回顾
近三年来平面向量与圆锥曲线交汇命题可以说经历了三个阶段:2002年天津卷21道只是数学符号上的混合;2003年江苏卷20道用平面向量的语言描述解析几何元素的关系,可谓是知识点层面上整合;2004年有6份卷(分别是全国卷理科(必修+选修I)21道;全国卷理科(选修Ⅱ)21道;辽宁19道;湖南文21道;江苏卷21道;天津卷22道)涉及平面向量与圆锥曲线交汇综合,可以说是应用层面上综合。就应用层面上又有两个层次。第一层次:考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标表示、数量积等基本概念、运算的掌握情况. 第二层次:考查学生对平面向量知识的简单运用,如平面向量共线定理、定比分点、加减运算几何意义(这三点已有所涉及)、数量积几何意义、射影定理(这两点挖掘不够,本专题着重讲述见例1变式)。,而且是未来几年平面向量高考题的一个走向.
基础知识梳理
向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法;
实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算;
平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平衡移公式;
椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用;
曲线方程(含指定圆锥曲线方程及轨迹方程);
直线与圆锥曲线的位置关系问题(交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题)确定参数的取值范围;
平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。
例题讲解
一、“减少运算量,提高思维量”是未来几年高考的一个方向,高考中对求轨迹的方程倾向于利用适当的转化再用定义法,以利于减少运算量,提高思维量。而圆锥曲线的两种定义均可用向量的模及数量积几何意义、射影定理来表示,无疑为平面向量与圆锥曲线交汇命题开拓了广阔的空间。在以向量为载体,求轨迹方程为命题切入点,可以综合考查学生
平面向量的加法与减法及其几何意义,平面向量的数量积及其几何意义,圆锥曲线的定义。
,y轴正方向的单位向量,设=, =,且满足||+||=4.
求点P(x,y)的轨迹C的方程.
如果过点Q(0,m)且方向向量为=(1,1) 的直线l与点P的轨迹交于A,B两点,当AOB的面积取到最大值时,求m的值。
解:(1) =, ||=,且||+||=4.
点P(x,y)到点(,0),(-,0)的距离这和为4,故点P的轨迹方程为
(2)设