文档介绍：弹性学制数学讲义不等式(4课时)★知识梳理1、不等式的基本性质①(对称性)abba②(传递性)ab,bcac③(可加性)abacbc(同向可加性)ab,cdacbd(异向可减性)ab,cdacbd④(可积性)ab,c0acbcab,c0acbc⑤(同向正数可乘性)ab0,cd0acbd(异向正数可除性)ab0,0cdabcdnn⑥(平方法则)0(,1)ababnN且nnn⑦(开方法则)0(,1)ababnN且n1111ab0;ab0⑧(倒数法则)abab2、几个重要不等式①222ababa,bR,②(基本不等式)2aba,bR,(当且仅当ab时取到等号).变形公式:(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.abc33abc(a、b、cR)③(三个正数的算术—几何平均不等式)(当且仅当abc时取到等号).④aa,bR(当且仅当abc时取到等号).⑤3333(0,0,0)abcabcabc(当且仅当abc时取到等号).⑥ba若则ab0,2ab(当仅当a=b时取等号)ba若则ab0,2ab(当仅当a=b时取等号)bbmana1⑦aambnb,(其中ab0,m0,n0)规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小.⑧22当a0时,xaxaxa或xa;.⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式①平均不等式:222ababab11ab,(a,bR,当且仅当ab时取22""号).(即调和平均几何平均算术平均平方平均).变形公式:ab222abab22;222(ab)ab2.②幂平均不等式:12222aa...an(aa...an).1212n③二维形式的三角不等式:222222x1y1x2y2(x1x2)(y1y2)(x,y,x,yR).1122④二维形式的柯西不等式:22222(ab)(cd)(acbd)(a,b,c,dR).当且仅当adbc时,等号成立.⑤三维形式的柯西不等式:2222222(aaa)(bbb)(ababab).123123112233⑥一般形式的柯西不等式:222222(aa...an)(bb...bn)12122(abab...ab).1122nn⑦向量形式的柯西不等式:设,是两个向量,则,当且仅当是零向量,或存在实数k,使k时,等号成立.⑧排序不等式(排序原理):设12...,12...,2,...,是b1,b2,...,bn的任一排列,则a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...a1b1a2b2...anbn.(反序和乱序和顺序和),当且仅当a1a2...an或b1b2...bn时,反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数)若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点xxxx有1,2(12),x1x2f(x1)f(x2)x1x2f(x1)f(x2)f()或f().2222则称f(x)为凸(或凹)、不等式证明的几种常用方法常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,:①舍去或加上一些项,如13122(a)(a);242②将分子或分母放大(缩小),如112k