文档介绍：空间向量在立体几何中的应用
利用向量判断位置关系
利用向量可证明四点共面、线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直等问题,其方法是通过向量的运算来判断,这是数形结合的典型问题
例1、在正方体AC1中,E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED⊥面A1FD1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
X
Y
Z
评述:
此题用综合推理的方法不易入手。用向量代数的方法则先证明线线垂直,再由线线垂直来证明线面垂直,,只不过是证明的手段不同
利用向量解几何题的一般方法是:把线段或角转化为向量表示,并用已知向量表示未知向量,通过向量运算去计算或证明
利用向量求空间角
利用向量可以进行求线线角、线面角、面面角,关键是进行向量的计算
例2、空间四边形ABCD中,AB=BC=CD,AB⊥BC,BC⊥CD,AB与CD成600角,求AD与BC所成的角
注意异面直线所成的角与异面直线上两向量夹角的关系:相等或互补
求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积,而要求两向量的数量积,必须把所求向量用空间的一组基向量来表示,本题正遵循了这一规律
本题多次运用了封闭回路
评述:
利用向量求空间距离
空间距离是一种重要的几何量,利用常规方法求距离,需要较强的转化能力,而用向量法则相对简单
例3、正方体AC1棱长为1,求平面AD1C与平面A1BC1的距离
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
X
Y
Z
评述:
此题用找公垂线的方法比较难下手,用向量代数的方法则简捷,高效,显示了向量代数方法在解决立体几何问题的优越性
平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或再转化为点到平面的距离