文档介绍：空间解析几何与向量代数
第七章
§7-1 向量及其线性运算
数量:
只有大小,
单用实数就可以表示的量。
向量:
既有大小,
又有方向的量。
考虑 xy 平面上的向量,几何上该向量可表示为 xy 平面上一有向线段。
o
x
y
Q
R
Q:始点
R:终点
向量记为QR
若将其平移,始点移至原点 O,而其终点对应于平面上一个点 P(x, y).
o
x
y
Q
R
P(x, y)
如此,平面上每一个向量都唯一确定了平面上的一个点P(x, y);
反之,平面上任意一点 P(x, y) 也唯一确定了平面上以 O 为始点,P 为终点的一个向量.
即
平面向量与平面上的点是一一对应的.
也即
二元有序数组(x, y)表
我们也称(x, y) 为二维向量.
示了平面上一向量,
平面向量平面上点二元有序数组
定义1
由n个数 a1, a2,…, an 所组成的有序数组
= (a1, a2,…, an)
称为n维向量.
数 a1, a2,… an 称为向量的分量
(坐标),
aj 称为向量的第 j 个分量
(坐标).
一般地,我们用, , 表示向量,a, b, c 或 x, y, z 表示其分量.
其它表示法
u, v
平行四边形法则
一般可定义如下基本运算.
问题:
是否和数一样,可以对向量进行运算?
回忆合力的运算.
F1
F2
F
F= F1+ F2
定义2
设= (a1, a2,…, an),
= (b1, b2,…, bn),
为 n 维向量,可定义和运算:
由此,可定义 n 维向量中两个典型向量:
零向量0: 满足+0=. 由加法定义知:
0=(0, 0,…, 0);
负向量–:满足+(–)= 0. 由加法定义知
–=(– a1, –a2, …, – an).
o
x
y
a1
a2
a2
b2
b1
b1
A
几何上
平行四边形法则
(a1+b1, a2+b2)
o
x
y
+
上图可简化为:
三角形法则
下面我们试图度量一个向量的压缩和伸长,几何上有:
o
x
y
a1
a1
a2
a2
P(a1, a2)
P(a1, a2)