文档介绍：立体几何中几类典型问题的向量解法
空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的,因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识,提高使用向量的熟练程度和自觉性,注意培养向量的代数运算推理能力,掌握向量的基本知识和技能,充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题。
利用向量知识求点到点,点到线,点到面,线到线,线到面,面到面的距离
(1)求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得,方法是:求出平面的一个法向量的坐标,再求出已知点与平面内任一点构成的向量的坐标,那么到平面的距离
(2)求两点之间距离,可转化求向量的模。
(3)求点到直线的距离,可在上取一点,令或的最小值求得参数,以确定的位置,则为点到直线的距离。还可以在上任取一点先求,再转化为,则为点到直线的距离。
(4)求两条异面直线之间距离,可设与公垂线段平行的向量,分别是上的任意两点,则之间距离
例1:设,求点到平面的距离
例2:如图,正方形、的边长都是1,而且平面、互相垂直。点在上移动,点在上移动,若。
A(O)
B
D
C
x
E
F
N
M
y
z
(Ⅰ)求的长;(Ⅱ)当为何值时,的长最小;
(Ⅲ)当长最小时,求面与面所成的二面角的大小
z
A
B
C
D
M
N
x
y
z
z
z
z
例3:正方体的棱长为1,求异面直线与间的距离
A
B
C
D
x
y
z
例4:如图,在长方体中,求平面与平面的距离。
点评:若是平面的法向量,是平面的一条斜线段,且,则点到平面的距离,平行平面之间的距离转化为点到平面的距离,变为斜线在法向量上的射影。
二、利用向量知识求线线角,线面角,二面角的大小。
(1)设是两条异面直线,是上的任意两点,是直线上的任意两点,则所成的角为
(2)设是平面的斜线,且是斜线在平面内的射影,则斜线与平面所成的角为。设是平面的法向量,是平面的一条斜线,则与平面所成的角为。
(3)设是二面角的面的法向量,则就是二面角的平面角或补角的大小。
例5:在棱长为的正方体中,分别是的中点,
A
B
C
D
E
F
G
x
y
z
(1)求直线所成角;
(2)求直线与平面所成的角,
(3)求平面与平面所成的角
例6:如图,四棱锥中,底面ABCD为矩形,底面ABCD,AD=PD,E,F分别CD、PB的中点.
A
B
C
D
E
F
x
y
z
P
(Ⅰ)求证:EF平面PAB;
(Ⅱ)设AB=BC,求AC与平面AEF所成角的大小.
A
B
C
P
D
E
x
y
z
例7:如图,,,求二面角的大小。
点评:如果分别是二面角两个面内的两条直线,且
,则二面角的大小为
S
B
A
C
D
z
x
y
例8:如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC = 90°,SA⊥面ABCD,SA = AB = BC = 1,.求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
点评:用向量知识求二面角的大小时,是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题,(1)当法向量的方向分别指向二面角内侧与外侧时,二面角的大小等于法向量的夹角的大小。
(2)当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时,二面角的大小等于法向量的夹角的补角。
三、利用向量知识解决平行与垂直问题。
例9:如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,,点D是AB的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:A1C //平面CDB1;
点评:转化
转化
平行问题的转化:
面面平行线面平行线线平行;
,在长方体ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AD上移动.
(1)证明:D1E⊥A1D;
(2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;
(3)AE等于何值时,二面角D1—EC—D的大小为.
.
A
D
B
C
D
D
D
四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。
,在直三棱柱中,
(1)求证(2)在上是否存在点使得
(3)在上是否存在点使得
五、专题突破:
A
C
B
D
1、如图:已知二面角的大小为,点于点,,且,求(1)直线所成角的大小,(2)直线的距离。
2、如图,在四棱锥P—ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.
(Ⅰ)求证:EF⊥CD;
(Ⅱ)在平面PAD内求一点G