文档介绍：立体几何几个难点问题的突破
华南师大附中周建锋

立体几何是一门研究空间形式和数量关系的科学,我们有一些处理立体几何问题的常用方法,但是在一些方法的运用中,还存在着一些学生很难把握的难点,比如:用判定定理证明线面平行时如何选取平面内的那条直线?用判定定理证明面面垂直时,如何选取垂直于平面的那条直线?用向量法求二面角时,如何判定向量的夹角与二面角相等还是互补?,如果能在这些方面做一些工作,帮助学生解决好这些问题,,和各位同行交流一下心得.
一、立体几何中的“逆向思维”
我们在用判定定理证明线面平行时有三个要素:,平面内一条直线,有时平面内那条直线没有给出,,我们不妨用逆向思维思考一下:要证,如果成立,由线面平行的性质定理,如果过直线a作一个平面,与平面a 交于直线b,则必有a∥b,直线b正是我们要找的直线,问题就得到解决.
那如何恰当地过直线a作平面与平面a 相交呢?在人教A版必修2教材第二章中有一道思考题可以给我们启示,这道题是这样的:教室里有一条平行于地面的灯管,如何在地面上找一条直线,使得这条直线与灯管平行?有代表性的做法有两个:一是在灯管两端用细绳吊着物体(有点重量),与地面接触的两点连接起来,这条直线就是要找的直线;二是在天花板上固定一点,从这一点引出两条细绳,分别过灯管的两端,与地面接触的两点连接起来,,:
例1 如图1,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN,求证:MN∥平面BCE。
证法一:如图2,分别过M作AB的平行线,交BC于点G,过N作AB的平行线,交BE于点H,连结GH.
∴ = , = .
由已知,AM=FN,而AC=FB,则MC=NB,因而= ,∴ MG=NH,
_
G
_
N
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M
_
F
_
E
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D
_
C
_
B
_
A
图3
∴ 四边形MNHG是平行四边形,
∴ MN∥GH.
又∵ MN Ë 平面BCE,GH Ì 平面BCE,
∴ MN∥平面BCE.
证法二:如图3,连结AN,并延长AN,与BE的延长线交于点G,连结CG.
∵ AF∥BG,
∴ = .
由已知易得MC=NB,∴= , ∴= , ∴ MN∥CG.
又∵ MN Ë 平面BCE,CG Ì 平面BCE,
∴ MN∥平面BCE.
除了线面平行外,在用判定定理证明面面垂直的时候,首先要找出垂直于其中一个平面的直线,,就需要我们去把它找出来,,我们有这样一个定理:如果两个平面都垂直于第三个平面,而这两个平面又相交,,如果再找出一个平面和其中的一个平面垂直,与另一个平面相交,那么交线正是需要的直线.
例2 如图4,正三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,求证:平面AMC1⊥1A1.
分析:面面垂直判定定理中的那条直线在图中并不明显,但如果观察到取AC、A1C1中点D、D1,则平面BDD1B1⊥1A1,1A1的直线,找到了这条直线,.
二、平面法向量的“***”算法
在空间平面法向量的算法中,普遍采用的算法是设,它和平面内的两个不共线的向量垂直,数量积为0,建立两个关于x,y,z的方程,再对其中一个变量根据需要取特殊值,即可得到法向量
.还有一种求法向量的办法也比较简便,先来看一个引理:
若平面ABC与空间直角坐标系x轴、y轴、z轴的交点分别为A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c),定义三点分别在x轴、y轴、z轴上的坐标值xA = a, yB = b, zC = c(a,b,c均不为0), 的值可根据实际需要选取.
证明:= (-a, b, 0), = (-a, 0, c),
∴ ,
∴ 是平面ABC的法向量.
这种方法非常简便,但要注意几个问题:
(1)若平面和某个坐标轴平行,则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为¥,(交点坐标值为¥),和y轴、z轴交点坐标值分别为b、c,则平面法向量为;若平面和x,y轴平行,和z轴交点的坐标值为c,则平面法向量为.
(2)若平面过坐标原点O,则可适当