文档介绍：《线性代数与空间解析几何》试题(A)参考答案(040105)
一、单项选择(每小题3分,共15分)
二、填空题(每小题3分,共15分)
, 2., 3., 4. 2, 5. 1.
三、(10分)解由于向量组线性无关,且故此。又,为线性方程组的一个解,由,得为线性方程组一个解,所以通解。
四、(10分) 解
五、(10分) 解,
故此当时,二次型为正定二次型。
六、(10分)解过已知直线的平面束为与已知平面垂直得:,即故此所求直线。
七、(10分)解(1) ,
特征值
,
(2) 由于有三个线性无关的特征向量,因此可相似对角化,且
。
八、(10分)证明(反证法)由于的特征值为,如果可相似对角化,则存在可逆矩阵使,从而矛盾。所以矩阵不可相似对角化。
九、(10分) 证明若为正定矩阵,则存在正交矩阵使
,从而
取,则为可逆的实矩阵,且。
反之,若存在可逆的实矩阵使,则,即为实对称矩阵,对任意有所以矩阵为正定矩阵。
《线性代数与空间解析几何》试题(A)参考答案(050113)
一、单项选择(每小题3分,共15分)
二、填空题(每小题2分,共12分)
1., 2., 3., , 5. 1, 6..
三、计算题(每小题10分,共30分)
,且故此。又
,为线性方程组的一个解,由,得为线性方程组一个解,所以通解。
,
当时即有解。
当时,,通解;
当时,,通解。
四、(9分),则过已知直线的平面束方程:。将代入得到:,所求的平面方程
。
五、(10分) 解,,特征值为。
,
二次型的标准型为。
六、证明题(每小题8分,共24分)
:若则,
由于线性无关,故此,所以向量组线性无关。
:由于为正交矩阵,则,由于得:,于是
故此所以,是的特征值。
: 由于为正定矩阵,则存在正交矩阵使,从而令,则,且。
取,则为可逆的实矩阵,且。
《线性代数与空间解析几何》试题(A)参考答案(060114)
一、单项选择(每小题3分,共15分)
二、填空题(每小题2分,共12分)
1., 2., 3. 4, 4., 5. , 6..
三、计算题(每小题10分,共30分)
,向量组的秩为2,
最大无关组为。(任意两个向量都是最大无关组)
,且则可逆,左乘得。
,方程组有唯一解;
当时,方程组无解;当时,方程组有无穷多解,通解
四、(9分)解. ,取过已知直线的平面方程:。所求的投影直线方程
五、(10分) 解,,特征值为。
,
二次型的标准型为。二次曲面表示为椭球面。
六、证明题(每小题8分,共24分)
:由于则,当时,;当时,,
如果,则可逆,故此矛盾,所以。
:由于,得,故此的列向量组线性无关。
: (1)设为的特征值,则存在非零向量使,从而,由得,即。
(2) 由于,则,又
故此。方程组的基础解系向量个数为,而方程组的基础解系的向量个数,即有个线性无关的特征向量,所以可相似对角化。
《线性