文档介绍：罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程
1893年,在喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像。这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的创始人之一罗巴切夫期基(,1792-1856)。非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果,它的创立,不仅带来了近百年来数学的巨大进步,而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。可是,这一重要的数学发现在罗巴切夫斯基提出后相当长的段时间内,不但没能赢得社会的承认和赞美,反而遭到种种歪曲、非难和攻击,使非欧几何这一新理论迟迟得不到学术界的公认。
失败的启迪
罗巴切夫斯基是在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中,从失败走上他的发现之路的。欧氏第五公设问题是数学史上最古老的著名难题之一。它是由古希腊学者最先提出来的。公元前3世纪,希腊亚历山大里亚学派的创始者欧几里得(Euclid,约公元前330年-前275)集前人几何研究之大成,编写了数学发展史上具有极其深远影响的数学巨著《几何原本》。这部著作的重要意义在于,它是用公理法建立科学理论体系的最早典范。在这部著作中,欧几里得为推演出几何学的所有命题,一开头就给出了五个公理(适用于所有科学)和五个公设(只应用于几何学),作为逻辑推演的前提。《几何原本》的注释者和评述者们对五个公理和前四个公设都是很满意,唯独对第五个公设(即平行公理)提出了质疑。第五公设是论及平行线的,它说的是:如果一直线和两直线相交,所构成的两个同侧内角之和小于两直角,那么,把这两直线延长,它们一定在那两内角的侧相交。数学家们并不怀疑这个命题的真实性,而是认为它无论在语句还是在内容上都不大像是个公设,而倒像是个可证的定理,只是由于欧几里得没能找到它的证明,才不得不把它放在公设之列。
为给出第五公设的证明,完成欧几里得没能完成的工作,自公元前3世纪起到19世纪初,数学家们投入了无穷无尽的精力,他们几乎尝试了各种可能的方法,但都遭到了失败。罗巴切夫斯基是从1815年着手研究平行线理论的。开始,他也是循着前人的思路,试图给出第五公设的证明。在保存下来的他的学生听课笔记中,就记有他在1816--1817学年度向何教学中给出的几个证明。可是,很快他便意识到自己的证明是错误的。前人和自己的失败从反面启迪了他,使他大胆思索问题的相反提法:可能根本就不存在第五公设的证明。于是,他便调转思路,着手寻求第五公设不可证的解答,这是一个全新的,也是与传统思路完全相反的探索途径。罗巴切夫斯基正是沿着这个途径,在试证第五公设不可证的过程上发现一个新的几何世界的。
那么,罗巴切夫斯基是怎样证得第五公设不可证的呢?又是怎样从中发现新几何世界的呢?原来他创造性地运用了处理复杂数学问题常用的一种逻辑方法--反证法。
这种反证法的基本思想是,为证“第五公设不可证”,首先对第五公设加以否定,然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统,并由此展开逻辑推演。假设第五公设是可证的,即第五公设可由其它公理公设推演出来,那么,在新公理系统的推演过程中一定能出现逻辑矛盾,至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾;反之,如果推演不出矛盾,就反驳了“第五公设可证”这一假设,从而也就间接证得“第五公设不可证”。
依照这个逻辑思路,罗巴切夫斯基对第五公设的等价命题普列菲尔公理“过平面上直线外一点,只