文档介绍：运用三角函数知识和几何知识巧解物体的平衡问题(高一、高三)
朱海英(浙江省丽水中学 323000)
物体的受力情况及运动状态的分析常要运用三角函数知识和几何知识得出空间的数量关系,再运用所学的物理规律找出各物理量之间的制约关系才得以求解。这类题目虽然有时所运用的物理规律比较明确,但是学生常因为找不到各物理量的数学表述,或是由于数学的运算能力不够而失之交臂。
一、应用相似三角形法巧解物体平衡问题:
在研究物体在共点力作用下处于平衡状态问题时,常要运用相似三角形法来进行解题,以几何三角形与力的三角形相似为突破口。
A
图1
B
O
C
例1:固定在水平面上的光滑半球,球心O的正上方固定一小定滑轮。细线一端拴一小球A,另一端绕过定滑轮。今将小球如图1所示的初位置缓慢地拉至B点。在小球到达B点前的过程中,小球对半球的压力N及细线的拉力T的大小变化是:
,T变大 ,T变小
,T变大 ,T变小
A
G
图2
F
R
B
O
N
T
G
d
L
C
解析:以小球为研究对象,它受到重力G,绳子的拉力T和球面支持力N的作用。小球缓慢移动,故任一时刻均处于平衡状态(动态平衡),受力如图2所示。设滑轮悬于C点,且AC=L,BC=d,大球半径为R。作力的平行四边形得,T与G的合力F与N大小相等、方向相反,T、G、F三力组成的三角形与ΔAOC相似,即:
在小球运动的过程中,L变小,而d和R不变,即T变小,N不变,选C正确。
二、应用同角三角函数的基本关系式解决平衡问题
图3
F
mg
N
f
O
α
例2: 人对均匀细杆的一端施力,力的方向垂直于杆,要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬到竖直位置,试求杆与地板间的最小动摩擦因数。
解析:人将杆缓慢抬起的过程中,地板对杆作用的弹力和摩擦力会不断地发生变化,因此,抬起至某一位置时可能要发生滑动,解题时需判断何处最易滑动(这是第一个难点),当杆与水平面的角度成α时受力如图3所示,取重力和人作用于杆的力F作用线的交点O为轴,设杆长为2L,根据力矩的平衡条件得:
NLcosα=fL(1/sinα+sinα)=fL
因此,
要使杆不滑动,须满足条件:,
即,
因为2tgαctgα=2为正值,所以当2tgα=ctgα时,有极值,
即:时,
h
图4
三、综合利用几何知识和三角函数知识解决平衡问题
例3:三个完全相同的光滑圆筒,半径为R,如图4所示放置,在最下面左右两边各放置一个厚度为h,长度与圆筒等长的固定垫块把圆筒支承着,为了使圆筒不倒,垫块的厚度至少应为多少?
解析:由于最上面的圆筒有重量,左、右两筒有向两边分开的趋势,即要绕下面圆筒与垫块的接触点转动,这时下面两圆筒之间、两圆筒与地面之间都没有弹力。
h
图5
G
N
N
N2
h
图6
mg
N1
θ
α
选取上面那个圆筒作为研究对象,其受力如图5所示,由对称性可知下面圆筒对它的弹力方向与竖直线夹角α=30°,设弹力大小为N1,应有:
2N1cosα=mg
再取下面左侧圆筒为研究对象,圆筒将要发生滚动时,受力如图6所示,以圆筒与垫片接触处为轴,根据力矩平衡得:
mgRsinθ=N1Rsin(α-θ)
另由几何关系还