文档介绍：《近世代数基础》教学大纲
一、教学目的
近世代数是现代数学的一个重要分支。它以集合论的观点,公理化、概念化的方法研究各种代数系统。,它的结果已经应用到科学技术的许多方面,它的某些内容对中学代数教学有一定的指导意义。作为师范院校数学专业的一门重要基础课,通过本课程的学习,应使学生初步掌握近世代数的基本理论和方法。从中体会代数方法的逻辑美、和谐美、简单美、奇异美,为进一步学习打好基础。并使学生能从理论的高度更深入地了解中学代数。
二、基本要求
:群、环、域的理论, 进一步提高抽象思维、逻辑推理的能力, 为学习其它课目打下必要的基础;
, 使学生对中学代数中熟知的内容从理论上有一个全新的认识, 从而能够更好地掌握和处理中学教材, 进一步提高中学数学教学质量。
,并能进行简单的应用。
三、主要内容与教学方法
本课程的主要内容是对三种基本代数系统: 群、环和域的基本理论的介绍, 对整环里因子分解的讨论。
在本课程教学中, 以课堂讲授为主, 根据学生实际, 采取从直观到抽象的讲授方法, 激发学生运用所学自主找出解决问题的途径。注意及时进行疑难分析和解题方法的研讨, 提高学生分析问题、解决问题的能力。
教学内容与课时分配
第一章基本概念
本章主要内容是集合,映射,代数运算及几个运算律, 集合间的同态、同构以及集合的等价关系与分类。
,一一映射, 变换的概念实质;
, 结合律、分配律、交换律;
(同构)集合的性质和特点;
, 等价关系的定义及用等价关系进行集合分类和
用集合分类构造等价关系的方法。
第二章群论
本章主要内容是群的定义, 群的简单性质, 群的模型:变换群和置换群的定义和性质, 一类特殊的群—循环群的定义和性质, 子群和子群陪集及它们的作用, 不变子群与商群的概念和性质, 群的同态的定义和它与不变子群的关系。
, 有限群的特别定义,群的单位元、逆元和消去律。
—变换群和Cayley 定理, 任意群与变换群的关系; 有
限非交换群的例子—置换群, 任意有限群与置换群的关系。变换群和置换群的代数运算和特殊性质。
3. 整数加群和模n的剩余类加群的模型, 一类特殊群—循环群的概念、分类、运算
, 子群的陪集, 不变子群, 商群的概念。群与子群、陪集、不变
子群、商群彼此之间的联系, 群的基本结构关系。
, 同态(同构)群的性质和特点, 群的同态与群的不
变子群的关系。
第三章环与域
本章主要内容是环的定义, 环中所满足的简单性质, 各种满足附加条件的环:整环, 除环, 域及性质. 无零因子环的特征, 子环及充要条件, 理想的概念和性质,最大理想(由一个交换环得到一个域的第一种方法)的概念和运用。剩余类环的定义和与理想的关系, 环的同态的