文档介绍：第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法,参数法,单一坐标平面投影法,分项投影法,高斯公式,Stokes公式,积分区间对称性,,在曲面积分的计算中,综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧,在第二型曲面积分的学****过程中,必须在理解概念和性质的同时,,计算方法灵活多变,而且涉及的数学知识面广,掌握起来有一定的难度,而且是数学分析学****中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难,因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法,并举例说明了这几种方法的应用,力图使学生能计算第二型曲面积分,并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分,曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系,让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前,(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为)的速度为1vvvv,k)z,y,x(R?j)z,y,x(Q?i)z,y,x(P?)z,y,x(v.∑是一光滑的有向曲面,求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量?v指定侧的单位法向量是常向量,若为平面上面积为的区域,而流速v??Svvvv??k??icoscosjn?,则用下面的方法计算流量若为曲面,流速v??分割(1).同时代表其面积将任意分成小块S?…,n),(?Si?1,2?ii近似(2)vvv上和单位法向量分别代替以点处的流速???SM?nS?,)?M(?,)v?v(M,iiiiiiiiii指定侧的流量的近似值:其他各点处的流速和单位法向量,得到流过S?i求和(3)取极限(4),若轴正向成锐角时的面积,?,,在若平面的投影区域的面积iiixy???SSxoy?),(上任取一点他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面..iiiii,xynnn???limlimlim?????????S??SPR?)(,,)()(,S?Q?若存在,iiii,ii,iiiii,i0T?0T?0T?xyyzzx1i?1?i1i?或者??????R(x,y,)dzdx?z)dxdyz?,(Px,yz)dydzxQ(,y,.SSSS的负侧流向正侧的总流量为据此定义,(方向性),则在上的第二型曲面积分也存在,且vS?SS?vvvvv????.???v?ndS?SS性质2(线性性)若存在,则有??dxdyRPdydz?Qdzdx?),k(i?1,2,…iiiSkkkk????,=????dxdy?cRdxdyPdydz?((cP)dydz?QcQ)dzdx?(dzdxcR)iiiiiiiiii1?1ii?1i?1i?,?,k)(i?1,i性质3(曲面可加性)若曲面是由两两无公共内点的曲面块所组成,S…,,S,SSk12且存在,,???}dxdy,dzdx,dS}??n?dS?{cos{dS,cosdS,cosdydzdSdS为曲面称从而uvv????Pdydz?Qdzdx?A?ndS?????是在面上的投影;是RdxdyQdzdxz,)?ndS??Pdydz?A(x,ydSdSdzdxdydzyoz,即SS在面上的投影;、可负、,取符号.?0?cosdxdy特殊形式:??称为对坐标的曲面积分;dydz,y,z)P(xPzy,S??称为对坐标的曲面积分;dzdxz)xQ(,y,Qxz,S??,)zxR(,Ry,,当曲面的侧确定之后,,并以上侧为正侧,为上的连续函数,?(1)?????SR(),z)dxdy??,,R(x,yiiii0T?xy1?iS1,是曲面的法线方向与由曲面面积公式轴正向的交其中???Sdxdy??Szii?,,是锐角?SSixy内必存