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第13章数值计算初步
误差与方程求根
插值方法简介
 误差与方程求根
能力目标
、相对误差、有效数字等相关概念.
、牛顿迭代法求方程的近似根.
讨论方程在[1,2]内的根.
这是一个关于的5次代数方程,没有求解公式,即

理,可以确定这个方程在(1,2)内至少有一个实根,
如何找到满足精度要求的近似解,正是要讨论的问题.
一、误差
模型误差:在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽
象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因素的影响,

误差,这种误差称为模型误差.
测量误差:在建模和具体运算过程中所用的数据往往是
通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据
一般是近似的,即有误差,这种误差称为测量误差.
截断误差:由于实际运算只能完成有限项或有限步运
算,因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有
限化,对无穷过程进行截断,这样产生的误差称为截
断误差.
舍入误差:在数值计算过程中,由于计算工具的限制,
我们往往对一些数进行四舍五入,只保留前几位数作
为该数的近似值,这种由舍入产生的误差称为舍入误差.
1、绝对误差与相对误差
绝对误差:准确值与其近似值之差称为近似数
的绝对误差(简称误差),记为
,简记为e*.但一般来说,不能准确知道
e( )的大小,可以通过测量或计算估计其绝对值的上
,简称误差限。
简记为
例如,若取为的近似值,则
于是可作为的绝对误差限。有了绝对误
差限就可以知道准确值的范围:
绝对误差限并不能完全表示近似值的好坏程度,例如
看上去的绝对误差限比的绝对误差限小,似乎
的精度高,其实不然.
相对误差称为近似数的相对误差,
简记为。如果,则称
为近似数的相对误差限,简记为。相对误差一般
用百分数来表示。
的近似值的相对误差限为
的近似值的相对误差限为
有效数字若近似值的绝对误差限不超过其末位数
的半个单位,而该位数字到的第一位非零数字共有
n位,则称用近似时具有n位有效数字.
若取为的近似值,
, 具有3位有效数字;
若取为的近似值,
, 就有5位有效数字.
设分别是由准确值x和y
经过四舍五入得到的近似值,问
分别是多少?
解
由于在数值运算中,不可避免地会产生误差,如果知
道产生误差的某些规律,就可在一定程度上控制误差.
一般地,要遵循如下一些原则:
1)要避免相近两数相减,防止有效数字丢失;
2)要防止大数吃掉小数;
3)绝对值相对太小的数不宜作除数;
4)要尽量简化运算步骤,减少运算次数;
5)要选取数值稳定的算法.