文档介绍：竞赛讲座 32 - 多边形的面积和面积变换本讲在初二几何范围内,通过实例对平面图形的面积和用面积变换解几何题作些简单介绍. 所用知识不多,简列如下: (1) 全等形的面积相等; (2) 多边形的面积定理(三角形、梯形等,略); (3) 等底等高的三角形, 平行四边形, 梯形的面积相等( 对梯形底相等应理解为两底和相等); (4) 等底( 等高) 的三角形, 平行四边形, 梯形的面积比等于这底上的高(这高对应的底)的比. 以下约定以△ ABC 同时表示△ ABC 的面积. 1. 多边形的面积例1 (第 34 届美国中学数学竞赛题)在图 23-1 的平面图形中,边 AF与 CD 平行, BC与 ED 平行,各边长为 1 ,且∠ FAB= ∠ BCD= ,该图形的面积是( ) (A)(B)1(C)(D)(E)2 分析将这个图形分解为若干个基本图形——三角形,连 BF、 BE、 BD 得四个与△ ABF 全等的正三角形,进一步计算可得图形面积为. 所以选( D). 例2 (第 5 届美国数学邀请赛试题)如图 23-2 五条线段把矩形 ABC D 分成了面积相等的四部分, 其中 XY=YB+BC+CZ=ZW=WD+DA+AX ,而 PQ 平行于 AB. 如果 BC=19cm , PQ=87cm ,则 AB 的长度等于_________. 分析如图, 延长 PQ交 AD、 CB于E、 YB+BC+CZ=WD+DA+AX 知 a+c=b+d, 又梯形 PQWZ 与梯形 PQYX 面积相等,故E、F 分别为 AD、 CB 的中点. 而S AXPWD =S BYQZC ,∴ EP=QF ,设为 e. 由S AXPWD =S PQZW得∴ 2e=106 , ∴ AB=2e+87=193. 例 3. 如图 23-3 四边形 ABCD 的两边 BA和 CD 相交于 G,E、F 各为 BD、 AC 的中点. 试证:△ EFG 的面积等于四边形 ABCD 面积的四分之一. 分析注意到 E、F 各为 BD、 AC 的中点,连结 EA、 EC和 FD. 则如果能够证明△ EFG 的面积等于四边形 AEFD 的面积,问题即可解决. 为此,取 AD 的中点 P, 连 PE、 PF,则 PE∥ GB, PF∥ GC. 于是△ GEP= △ AEP ,△ GFP= △ DFP. 而△ PEF 公用. ∴△ GEF=S AEFD. 至此,问题得解. 证明略. 2. 4. 以直角三角形 ABC 的两直角边 AC、 BC 为一边各向外侧作正方形 ACDE 、 BCGH , 连结 BE、 AH 分别交 AC、 BC于P、 Q. 求证:CP=CQ. 证明( 如图 23-4) 显然 S △ GCQ =S △ HCQ, ∵ HB∥ AG, ∴S △ GCQ =S △ ACH =S △ ABC. 同理,S △ BDP =S △ ABC.∴S △ AGQ =S △ BDP,∴ CQ· AG=CP · BD. ∵ AG=AC+GC =DC+BC=BD , ∴ CP=CQ. 此例是关于平面图形中线段的等式, 看似与面积无关, 然而我们却利用图形之间面积的等量关系达到了证明的目的. 这种不考虑图形的形状只从图形的面积关系入手来研究图形的度量关系和位置关系的方法即所谓面积变换. 例5(第 37 届美国中学数学竞赛题)图 23-5 中,ABCDE 是正五边形,AP 、 AQ和 AR 是由 A向 CD、 CB和 DE 是正五边形的中心,若 OP=1, 则 AO+AQ+AR 等于( ). (A)3(B) 1+ (C)4(D) 2+ (E)5 分析因题设中 AP、 AQ、 AR 分别与 CD、 CB、 DE 垂直,这就便于利用面积作媒介. 注意到即由 CD=BC=DE , 则 AP+AQ+AR=5 · OP 故 AO+AQ+AR=4. 应选( C). 例6 (第 37 届美国中学数学竞赛题)不等边三角形 ABC 的两条高的长度分别为 4和 12. 若第三条高也为整数,那么它的长度最大可能是( ). (A)4(B)5(C)6(D)7 (E )不同于( A)-(D )的答案解设△ ABC 第三边上的高为 h ,面积为 S ,则该三角形的三边可表示为显见>.据“三角形两边之和大于第三边”有+>,+>. 解得 3<h< 6. 所以选( B). 例7图 23-6 中, 已知 AB 是直角三角形 ABC 的斜边, 在射线 AC、 BC 上各取一点、,使 P、Q是△ ABC 内两点,如果 P,Q到△ ABC 各边的距离之和相等,则 PQ∥;反之亦然. 证明设P、Q到△ ABC 各边的距离之和分别为 S(P ), S(Q).连 PA、 PB、