文档介绍：中南大学2002年研究生入学考试试题考试科目:高等代数注:以下R2表示n维实列向量空间,Rnn表示n阶实矩阵的全体,A表示矩阵A的转置,Tr(A)表示矩阵A的迹。一、 (20分)设xo是n维欧氏空间V中非零向量,R,k=0,定义变换Tx=xk(x,x0)x0,xV1•验证T是线性变换;2•设X。在V的标准正交基0〈2」||,耳下的坐标为i「2,l||「n,求在该基下的矩阵;,即(Tx,y)=(x,Ty),-x,yV;2证明:T为正交变换的充要条件是k= 。X。二、 (16分)设ARnn,记C(A)二{B:AB=BA,BRnn}.:C(A)是Rnxn的子空间;=l时,求C(A);=IIIHIHIH1HI300II1n时,求C(A)的维数和一组基。、(16分)设b=(b!,b2,IH,bn)T为n维非零列向量,求矩阵ob_-A的特征值和特征向量,其中bH表示列向量b的共轭转置四、(14分)设ARnn,bxRn,证明线性方程组ATAx=ATb必有解。五、 (12分)设A,B为n阶实矩阵,证明AB-bA"六、 (12分)求证:A为幕零阵(即存在正整数m,使得Am=0)的充要条件是:对任一自然数r,有Tr(Ar)=、(10分)设A,B是n阶实对称矩阵,A=0,证明:A为正定矩阵的充要条件是,对所有正定矩阵B,恒有Tr(AB):高等代数一、 填空题:(每小题6分,共30分)1、 设四阶方阵A乂仆:2,:3,:4),B= 〉2,〉3,〉4),其中:,1,〉2,〉3,〉4,:为4维列向量,若|A|=1,|B|=2,则|AB|=()。2、 设六阶方阵A的秩等于4,则A的伴随矩阵A*的秩等于()。3、设三阶方阵A的行列式lAX*,AJ为A的逆矩阵,A*为A的伴随矩阵,贝U*1_1|A-(評」|=()o4、 设A为n阶可逆矩阵,如果交换A的第i行与第j行得到B,则BA‘=()。5、 设A为n阶方阵,若A=3E,秩(A-3E)•秩(A5E)=n,则数怎-()必为A的特征值。二、 (本题满分20分)设f(x)是数域P上的一个n次多项式,这里n・1,且设f(x)的一阶微商可以整除f(x)。证明f(x)=a(x-b)n,这里a,bP,a=0。三、 (本题满分20分)解方程组X1X2X3=1ax1bx2cx3=da2x.|b2x2c2x3二d2其中a,b,c为互不相同的常数。四、 (本题满分25分)设P是一个数域A是Pnn中的一个矩阵,令F(A)二{f(A)|f(x) P[x]}.证明:(1)F(A)是Pnn的一个线性子空间;(2)可以找到非负整数m,使E,A,A2,|l(,Am是F(A)的一组基;(3)F(A)的维数等于A的最小多项式的次数。五、 (本题满分25分)设R2是实数域R上的2维向量空间,T:R2—;R2 (xiX”-(X2,xi)是线性变换。(1) 求T在基:i=(1,2),:2=(1,-1)下的矩阵;(2)证明对于每个实数C,线性变化T-CE是可逆变换,这里E是R2上的恒等变换;(3) 设T在R2的某一基下的矩阵为勺1021证明乘积a12a21不等于零。六、 (本题满分20分)设A,B为nn矩阵秩(A)+秩(B)乞n。七、(本题满分 10分)设A,B,C・RnnC-BA4BT也正定。012a22证明:如果AB=O,那么若矩阵A<Bbtac」是正定的,证明中南大学2004年研究生入学考试试题考试科目:高等代数下面的E均为n阶单位矩阵。一、填空。(5分X5=25分)1、 当k= 时,向量B=(1,k,5)能由向量g严⑴一3,2),企=(2,-1,1)线性表示。2、假设n阶方阵A满足A2-3A+2E=0,则A的特征值为 。2 i3、 已知n阶方阵A满足A+2A-3E=0,贝U(A+4E)= 。4、 设A是n阶方阵,满足AAT=E(At是A的转置矩阵),|A卜:0,则|A+E|= 5、设n阶实对称矩阵A的特征值分别为1,2川1,n,则当满足 时,tE-A为正定矩阵、计算n阶行列式。(15分)11IIIX1X2IIID=2X12X2III川III2X1n-2X2IIInX1nX2III1Xn2Xnn-2XnnXnX2—X3=a2 5、证明方程组」X3-X4=a3有解的充要条件是无4=0,在有解的情况下求出它i=1X4—Xs=a4X5-N二a5的一切解。(15分)四、证明,若方程X3pXq=0的两个跟■■和:有关系式=0,则2-q=(p-q)。(15分)五、(20分)1、证明:向量〉1=(1,1」1(,1,1)「2=(1,1J儿1,0),川「n=(1,0,1山0)是n维向量空间的一组基。2、求向量〉=(ai,a2,||(,an)在此