文档介绍：高考研究中的《高考数学的54个失分点》续
【易错点55】向量与三角函数求值、运算的交汇
例39、,与的夹角为θ1, 与的夹角为θ2,且的值.
【易错点分析】此题在解答过程中,学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来,注意在用已知角表示两组向量的夹角的过程中,易忽视角的范围而导致错误结论。
解析:故有因,从而
【知识点归类点拔】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性,重视知识的交汇性,向量是新课程新增内容,具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点,成为联系这些知识的桥梁,因此,向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体,结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能力。
【练39】(1)(2005高考江西)已知向量,令是否存在实数,使(其中是的导函数)?若存在,则求出的值;若不存在,则证明之答案:存在实数使等式成立。
(2)(2005山东卷)已知向量和,:。
【易错点56】向量与解三角形的交汇。
例40、ΔABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且3+4+5=。①求数量积,·,·,·;②求ΔABC的面积。
【思维分析】第1由题意可知3、4、5三向量的模,故根据数量积的定义及运算律将一向量移项平方即可。第2问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。
解析:①∵||=||=||=1由3+4+5=得:3+4=-5两边平方得:92+24·+162=252∴·=0同理:由4+5=-3求得·=-由3+5=-4求得·=-
②由·=0,故=||||=由·=-得cos∠BOC=- ∴sin∠BOC=-∴=||||sin∠BOC=,由·=-得cos∠COA=-∴sin∠COA=∴=||||sin∠COA=即=++=++=
【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算,用于表达三角形的内角、面积。
【练40】(1)(2005全国卷Ⅲ)△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且cosB=。(1)求cotA+cotC的值;(2)设,求的值。
答案:(1)(3)。
(2)已知向量=(2,2),向量与向量的夹角为,且·=-2,①求向量;
②若,其中A、C是△ABC的内角,若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列,试求|+|:①或②
【易错点57】与向量相结合的三角不等式,学生的综合运用知识解决问题的能力不够。
例41、已知二次函数f(x)对任意x∈R,都有f(1-x)=f(1+x)成立,设向量=(sinx,2),=(2sin,x),=(cos2x,1),=(1,2),当x∈[0,π]时,求不等式f(·)>f(·)的解集.
【易错点分析】易忽视二次函数的开口方向的讨论和三角、向量、函数三者的综合程度不够。
解析:设f(x)的二次项系数为m,其图象上的两点为A(1-x,y1)、B(1+x,y2),因为=1,f(1-x)=f(1+x),所以y1=y2由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称,若m>0,则x≥1时,f(x)是增函数;若m<0,则x≥1时,f(x)是减函数。∵·=(sinx,2)·(2sinx,)=2sin2x+1≥1,·=(cos2x,1)·