文档介绍：一、向量有关知识复****1)向量共线的充要条件: ab与共线?? 0,????bRba??(2)向量垂直的充要条件: ?? 0,00??????bababa (3)两向量相等充要条件: ,baba???且方向相同。 1 1 2 2 1 2 2 1 ( , ) ( , ) // 0 a x y b x y a b xy x y ? ? ???? ???,, 1 1 2 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) 0 a x y b x y a b xx y y ? ?????? ???,, 1 1 2 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) , a x y b x y a b x x y y ? ?????? ???,, (4)平面向量基本定理 1 2 1 2 a e e e e ? ? ??? ?? ????,其中,不共线。,为唯一确定的常数二、应用向量知识证明平面几何有关定理例1、证明直径所对的圆周角是直角 A B CO 如图所示,已知⊙O, AB 为直径, C 为⊙O上任意一点。求证∠ ACB=90 ° 分析: 要证∠ ACB=90 °,只须证向量,即。 CB AC ?0?? CB AC 2222baba????0 22???rr即,∠ ACB=90 ° 0?? CB AC 思考:能否用向量坐标形式证明? ????????解:设 AO=a , OC=b AC a b ? ???????则, ? ???????????由此可得: AC CB=(a+b)(a-b) ?????CB a b ? ???? ?? CB 二、应用向量知识证明平面几何有关定理例2、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 A B DC 已知:平行四边形 ABCD 。求证: 222222 BD AC DA CD BC AB?????b AD a AB??,解: 设,则 ba DB ba AC a DA b BC??????;,, 分析: 因为平行四边形对边平行且相等,故设其它线段对应向量用它们表示。 b AD a AB??,)(2 222222ba DA CD BC AB????????? 2222baba BD AC??????????????????????????? 222222222222bababbaabbaa∴ 222222 BD AC DA CD BC AB?????三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例3、已知:如图 AD 、 BE 、 CF 是△ ABC 三条高求证: AD 、 BE 、 CF 交于一点 F A BCD E A BCD E H 分析: 思路一:设 AD 与 BE 交于 H,只要证 CH ⊥ AB ,即高 CF 与 CH 重合,即 CF 过点 H由此可设 a BC ? b CA ?p CH ?利用 AD ⊥ BC , BE ⊥ CA ,对应向量垂直。 00)(??????????apabapb BC HA00)(??????????bpabbpa CA BH0)(0?????????bapbpap BA CH BA CH?????0 BA CH ?????????只须证明0 p BA ? ???????如何证? 三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例3、已知:如图 AD 、 BE 、 CF 是△ ABC 三条高求证: AD 、 BE 、 CF 交于一点 A BCD E H 解: 设 AD 与 BE 交于 H, a BC ?b CA ?p CH ?00)(??????????apabapb BC HA00)(??????????bpabbpa CA BH0)(0?????????bapbpap BA CH BA CH?????0即高 CF 与 CH 重合, CF 过点 H, AD 、 BE 、 CF 交于一点。三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例4、如图已知△ ABC 两边 AB 、 AC 的中点分别为 M、N, 在 BN 延长线上取点 P,使 NP=BN ,在 CM 延长线上取点 Q, 使 MQ=CM 。求证: P、A、Q三点共线 A M Q P 解:设 b AC a AB??,则 a AM b AN2 1,2 1??由此可得 ab NP BN???2 1ba MQ CM ???2 1baab PA NP AN PA?????????)(,baab AQ MQ AM AQ????????)(, AQ PA?即故有,且它们有公共点 A,所以 P、A、Q三点共线 AQ PA // 四、应用向量知识证明等式、求值例5、如图 ABCD 是正方形 M