文档介绍：二次函数 1 、什么叫做二次函数?它的图象是什么? 它的对称轴、顶点坐标各是什么? 答: y=ax 2 +bx+c(a,b,c 是常数, a≠0),y 叫做 x 的二次函数。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线 x= , 顶点坐标是( ,)。 a b2 ? a b2 ?a b ac4 4 2? 2、二次函数的解析式有哪几种? 有三种: ⑴一般式: y = ax 2 +bx+c(a ≠0) ⑵顶点式: y = a(x-h) 2 +k 顶点为(h,k) ⑶交点式: y = a(x-x 1 )(x-x 2 ) 与x 轴两交点:(x 1 ,0),(x 2,0) 例1:根据二次函数的图象上三个点的坐标( -1,0),( 3,0), (1, -5),求函数解析式。解法一设所求二次函数解析式为: y = ax 2 +bx+c. 又抛物线过点( -1,0),( 3,0),( 1, -5),依题意得 a – b + c = 0 9a+3b+c = 0 a + b + c=-5 解得 4 5?a2 5??b4 15 ??c∴所求的函数解析式为。 4 15 2 54 5 2???xxy 解法二∵点( -1,0)和( 3,0)是抛物线与 x轴的两个交点,故可设二次函数解析式为: y=a(x+1)(x-3), 又抛物线过点( 1, -5), 有-5=a ( 1+1 )( 1-3 )解得∴, 即所求的函数解析式为。 4 5?a)3 )(1(4 5???xxy4 15 2 54 5 2???xxy 解法三∵点( -1,0 )和( 3,0 )是关于直线 x =1 对称,显然( 1, -5 )是抛物线的顶点坐标, 故可设二次函数解析式为: y = a(x-1) 2 -5, 又抛物线过点( 3,0 ), 0=a(3-1) 2 -5, 解得, ∴ , 即所求的函数解析式为。 4 5?a 5)1(4 5 2???xy4 15 2 54 5 2???xxy 解法四经上述分析,点( 1, -5 )是抛物线的顶点坐标,依题意得: 解得即所求的函数解析式为。 a-b+c=0 12 ??a b4 5?a54 4 2???a bac2 5??b4 15 ??c4 15 2 54 5 2???xxy (三)知识升华抛物线位置与系数 a,b,c的关系: ⑴a决定抛物线的开口方向: a>0 开口向上 a<0 开口向下⑵c决定抛物线与 y轴交点的位置: ①c>0 <=> 图象与 y轴交点在 x轴上方; ② c=0 <=> 图象过原点; ③c<0 <=> 图象与 y轴交点在 x轴下方。⑶a,b决定抛物线对称轴的位置:(对称轴是直线 x = ) a b2 ?①a,b同号<=>对称轴在 y轴左侧; ② b=0 <=> 对称轴是 y轴; ③a,b异号<=>对称轴在 y轴右侧⑷顶点坐标是( ,)。 a b2 ?a bac4 4 2?⑸△=b 2 -4ac 决定抛物线与 x轴交点情况: ①△>0<=>抛物线与 x轴有两个交点; ②△=0<=>抛物线与 x轴有唯一的公式点; ③△<0<=>抛物线与 x轴无交点。⑹二次函数的最大、最小值由 a决定。例2 、已知函数 y = ax 2 +bx +c 的图象如下图所示, x= 为该图象的对称轴,根据图象信息你能得到关于系数 a,b, c的一些什么结论? -1 0 1 x 3 1y 3 1 【分析与参考答案】首先观察到二次函数的图象为抛物线,其对称轴为直线 x= , 抛物线与x 轴有两个交点,交点的横坐标其一大于 1 ,另一个介于-1与0 之间,抛物线开口向上,顶点的纵坐标及抛物线与 y 轴的交点的纵坐标均介于-1 与0之间,由此可得如下结论: ⑴a>0;⑵-1<c< 0; ⑶b 2 -4ac > 0; ⑷∵,∴ 2a=-3b; 3 12 ??a b ⑸由⑴, (4) 得b< 0; ⑹由⑴,⑵,⑸得 abc > 0; ⑺考虑 x = 1 时y<0,所以有 a+b+c < 0; ⑻又 x = -1 时y>0,所以有 a-b+c > 0; ⑼考虑顶点的纵坐标,有 0< c- < -1。 a b4 2 3 1 -1 (四) 练****巩固知识) y 4 3 8 x 1、如图所示:求抛物线的解析式。由图象得:抛物线过( 8,0),( 0,4) 对称轴是直线 x = 3 , 从而可得抛物线又过( -2,0)。解法一:设抛物线的解析式为: y