文档介绍：《不等式》知识点归纳一.(1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示;?(移项通分,分子分母分解因式,xx(2)解分式不等式aa0gx的系数变为正值,标根及奇穿过偶弹回);(3)含有两个绝对值的不等式如何去绝对值?(一般是分类讨论、平方转化或换元转化);(4)解含参不等式常分类等价转化,:按参数讨论,最后按参数取值分别说明其解集,但若按未知数讨论,、利用重要不等式ab2ab以及变式ab2ab()等求函数的最值时,务必注意a,bR2(或a,b非负),且“等号成立”时的条件是积ab或和a+b其中之一应是定值(一正二定三等四同时).三、.常用不等式有:222ababab2211ab(根据目标不等式左右的运算结构选用)a、b、cR,a(当且仅当abc时,取等号)四、含立方的几个重要不等式(a、b、c为正数):3333abc≥abc(abc0等式即可成立,abc或abc0时取等);3abc≤abc3abc≤abc()33≤333abc3五、最值定理(积定和最小)①x,y0,由xy≥2xy,若积xyP(定值),则当xy时和xy有最小值2p;12(和定积最大)②xy由xy≥xy,若和xyS(定值),则当xy是积xy有最大值s.,0,24【推广】:③已知a,b,x,yR,若axby1,则有则1x1y的最小值为:1111byax(axby)()abab2ab(ab)≥xyxyxy21④等式到不等式的转化:已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+(x2y)2xy8(x2y)x2y8(x2y)42(x2y)即(x2y)80(x2y8)(x2y4)04解得x2y(8舍)或x2y4故x+2y的最小值是4如果求xy的最大值,则2xy8(x2y)x2y82xy22xy,然后解关于xy的一元二次不等式,求xy的范围,进而得到xy的最大值六、比较大小的方法和证明不等式的方法主要有:差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法和放缩法(注意:对“整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径,“配方、函数单调性等”对放缩的影响).七、含绝对值不等式的性质:a、b同号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|;a、b异号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|.八、不等式中的函数思想不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面,在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、函数法(1)一次函数f(x)kxb,x[m,n]有:f(m)0f(x)0恒成立,f(x)0恒成立f(n)0ff(m)(n)002bxcaxR(2)一元二次函数f(x)ax0(0,)有:1)f(x)0对xR恒成立a00;2a02)f(x)(3)不等式中x的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。(x)x22,当x[1,)时,f(x)m恒成立,求实数m的取值范围。2,则当x[1,)时,F(x)0恒成立解:设F(x)x2mx2myx当4(m1)(m2)0即2m1时,F(x)0显然成立;当0时,如图,F(x)0恒成立的充要条件为:-1Ox0F解得3m2。综上可得实数m的取值范围为[3,1)。(1)02m21二、最值法:将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有:(1)f(x)a恒成立af(x)min(2)f(x)a恒成立af(x)(x)8x16xk,g(x)2x5x4x,其中k为实数.(1)若对任意的x3,3,都有f(x)g(x)成立,求k的取值范围;(2)若对任意的x1、x23,3,都有f(x1)g(x2),求k的取值范围.(3)若对于任意x13,3,总存在x03,3使得g(x0)f(x1)成立,,解:(1)令F(x)g(x)f(x)2x3x12xk问题转化为F(x)0在x3,3上恒成立,即F(x)0即可min(2)由题意可知当x3,3时,都有f(x)maxg(x)min.(3)于任意x3,3,总存在x03,3使得g(x0)f(x1)成立,等价于fx的值域1是gx的值域的子集,3三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是