文档介绍：数值分析实验报告姓名:张献鹏学号:专业:冶金工程班级:重冶二班目录1 拉格朗日插值 问题背景 数学模型 计算方法 数值分析 22 复化辛普森求积公式 问题背景 数学模型 计算方法 数值分析 53 矩阵的LU分解 问题背景 数学模型 理论基础 实例 计算方法 小组元的误差 84 二分法求方程的根 问题背景 数学模型 计算方法 二分法的收敛性 105 雅可比迭代求解方程组 问题背景 数学模型 理论基础 实例 计算方法 收敛性分析 136 Romberg求积法 问题背景 数学模型: 理论基础 实例 计算方法 误差分析 157 幂法 问题背景 数学模型 理论基础 实例 计算方法 误差分析 188 改进欧拉法 问题背景 数学模型 理论基础 实例 数学模型 误差分析 201 问题背景对于函数,求拉格朗日插值。,把和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较,观察数值积分中的Lagrange插值。 数学模型取等距差值节点xk=-5+10k/n,k=0,1,…..,n,构造n次lagrange插值多项式:Ln=i=0n11+xi2wn+1(x)(x-xi2)wn+1'(xi)当n=10时,十次插值多项式L10(x)以及函数f(x)的图像可以由Matlab画出。 :functionf=f(x)f=1./(1+x.^2);=Lagrange(x0,y0,x);n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=;fork=1:np=;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;End拉格朗日插值的曲线:x=[-5:1:5];y=1./(1+x.^2);x0=[-5::5];y0=Lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);plot(x0,y0,'b')holdonplot(x0,y1,'r')运行这个文件可以得到如下拉格朗日图形曲线: 数值分析L10(x)的断误差R10(x)=f(x)-L10(x)在区间[-5,5]的两端非常大。例如,L10()=,而f()=。这种现象称之为龙格现象。不管n取多大,Runge现象依然存在。因此,对函数作插值多项式时,必须小心处理,不能认为差值节点取得越多,差值余项就越小。此外,当节点增多时,舍入误差的影响不能低估。为了克服高次插值的不足,应采用分段低次插值。2 问题背景用复化Simpson公式计算定积分e2=12xexdx的近似值,要求误差限ξ=1/2×10-7,利用其余项对算法做出步长的事前估计;并将计算结果与精确值进行比较。 数学模型将积分区间[a,b]分为n等分,h=(b-a)/n,xk=a+kh,k=0,1,…n。在每个子区间[xk,xk+1]上用Simpson公式可得:abfxdx=k=0n-1f(x)dx≈h6k=0n-1[fxk+4fxk+12+f(xk+1)]其中xk+1/2=xk+1/2h。Snf=h6k=0n-1fxk+4fxk+12+fxk+1=h6[fa+4k=0n-1fxk+12+2k=1n-1fxk+f(b)]此式即为复化Simpson公式。设f(x)∈C4[a,b],由Simpson公式的误差有Rsn=I-Sn=k=0n-1[-190h25f4(εk)],εk∈[xk,xk+1]。则复化Simpson公式的余项为:Rsn=-b-a2880h4f4(εk),εk∈[a,b]复化Simpson公式四阶收敛。 计算方法程序1(求f(x)的n阶导数):symsxf=x*exp(x)%定义函数f(x)n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n)%求f(x)的n阶导数程序2:learsymsx%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x')%定义函数f(x)=x*exp(x),换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline