文档介绍：线段垂直平分线的性质通过前面的研究我们就可以得到图形轴对称的性质: 如果两个图形关于某条直线对称, 那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。类似地,轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线. 演示下面我们来探究线段垂直平分线的性质猜想: AP 1 =BP 1, AP 2 =BP 2,…能用我们已有的知识来证明这个结论吗? P 3AB l P 2P 1 演示 l是 AB 的垂直平分线,观察 P1A 和 P1B , P2A 和 P2B , P3A 和 P3B 之间的关系? 求证:线段垂直平分线上得点到这条线段两端的距离相等 B AC P l同学们能不能根据这幅图用符号语言来描述这个命题并给予证明呢? 转化成数学语言: 已知:直线 m是线段 AB 的垂直平分线, P为线段 AB 上的任意一点;求证: PA=PB. 证明:利用判定两个三角形全等. ∵m是 AB 的垂直平分线, P在m上∴ PC ⊥ AB,AO=BO ∴∠ AOP= ∠ BOP=90 °在△ APO 和△ BPO 中, ∴△ APO ≌△ BPO (SAS) ∴ PA=PB. PO= PO ∠ AOP= ∠ BOP AO=BO 结论:线段垂直平分线上的点与这条线段结论:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 两个端点的距离相等. AB P lC 1 1、因为、因为 AD AD为为BC BC的中垂线,所以的中垂线,所以。。理由: 理由: AB AB= =AC AC 线段垂直平分线上的点与这条线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 线段两个端点的距离相等. B B C C A AD D 2、如图, NM NM是线段是线段 AB AB的中垂线的中垂线, , 下列说法正确的有下列说法正确的有: :。。①①AB AB⊥⊥MN, MN, ②②AD=DB AD=DB , ,③③MN MN⊥⊥AB AB, , ④④MD=DN MD=DN , ,⑤⑤AB AB是是MN MN的垂直平分线的垂直平分线 A B MN D ①②③①②③例如图,在△ ABC 中,已知 AC=27 , AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,△ BCE 的周长等于 50 ,求 BC 1:如图,在△ ABC 中, AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点 E, 若∠ BEC=70 °,则∠ A= ? 变式 2:如图,在 Rt △ ABC 中, AB 的垂直平分线交 BC 边于点 BE=2 ,∠ B =15 °求: AC 的长。 A BC E D AB C DE 变式 3 如图,在△ ABC 中, AB=AC, BC=12, ∠ BAC =120 ° ,AB 的垂直平分线交 BC 边于点 E, AC 的垂直平分线交 BC 边于点 N. ⑴求△ AEN 的周长. (2) 求∠ EAN 的度数. (3) 判断△ AEN 的形状.(1)△ AEN 的周长等于 BC 的长.(2)应用变式 1的结论∠ AEN=2 ∠ B=60 °, ∠ ENA=2 ∠ C=60 °所以∠ EAN=60 °. (3)由( 2)知△ AEN 是等边三角形. A BC EN D M 变式 4 如图,在△ ABC 中, AB=AC, BC=12, ∠ BAC =130 ° ,AB 的垂直平分线交 BC 边于点 E, AC 的垂直平分线交 BC 边于点 N. ⑴求△ AEN 的周长. (2) 求∠ EAN 的度数. (3) 判断△ AEN 的形状.(1)(1)△ AEN 的周长不变等于 BC 的长. (2)∠ AEN=2 ∠ B=50 °,∠ ENA=2 ∠ C=50 °所以∠ EAN=80 °(3)由( 2)知△ AEN 是等腰三角形. A BC EN D M 如图,若如图,若 AC=12 AC=12 , ,BC=7 BC=7 , ,AB AB的垂直平分线交的垂直平分线交 AB AB于于E E,交,交 AC AC于于D D, ,求求△△BCD BCD 的周长。的周长。 DC B E A 解: ∵∵ED ED是线段是线段 AB AB的垂直平分线的垂直平分线∴∴∵∵△△BCD BCD 的周长的周长=BD+DC+BC =BD+DC+BC ∴∴△△BCD BCD 的周长的周长= = = = = = BD=AD BD=AD AD+DC+BC AD+DC+BC AC+BC AC+BC 12+7=19 12+7=19