文档介绍：镜像法如欲求圆柱外一位于点,强度为的点涡的复位势,可在圆柱内点添加一强度为的点涡,在原点添加一强度为的点涡,三个奇点在圆柱外共同产生的复位势即所求的复位势,且保证圆柱面本身是一条流线。 0z? 20az ??? 0z 20 20az az? 0z 0 2z a 镜像法当流体外部流场中存在奇点(如点源、点涡等)时,常用镜像法求得满足边界条件的复位势,其作法是在物体内部适当位置也布置奇点,称为外部奇点的镜像,使得由奇点及其镜像产生的复速度势满足物体边界总是一条流线请注意圆内点即对于圆外一点的所谓镜像点,它们的模的乘积等于圆半径的平方, ;它们的圆心处于同一条直线上,即和有相同的幅角。 20az 20az ??? 0z ????a 假设奇点全在的上半平面内,当无物体边界时,其复速度势为,当实轴为边界时,这些奇点在上半平面产生的复位势为 0?y?? zf?????? zfzfzF?? 镜像法以实轴为边界式中表示除外其余复常数均取其共轭值。如图求实轴上点涡的复位势, 点涡复位势?? zf????? 0 ln2 i f z z z ???? ????? 0 ln2 i f z z z ??? ? z?????????? 0 0 0 0 ln ln ln 2 2 2 z z i i i F z z z z z z z ? ????? ??? ???????? 0z 0z ??事实上在实轴上, ,(即的复共轭函数,表示对中所有复数取共轭),实数,即实轴是一条的流线,并且在的区域内并未增加新的奇点,即在上半平面内的奇点和的奇点完全一样, 是除原奇点外的解析函数。 oz z z ???( ) f z f z ?( ) f z?? zf?? zf?????????zfzfzF 0?? 0?y?? zF?? zf 镜像法这表明以实轴为边界时,一个点涡的复位势等于它本身的复位势与其以实轴为镜面的镜像点处一个反方向旋转的点涡的复位势的迭加。??? 0z 0z ??事实上在虚轴上,, 实数,即虚轴是的流线,并且在的区域内并不增加新的奇点。设奇点全在的平面内,当无物体边界时,其复位势为,当虚轴为边界时,这些奇点在右半平面内产生的复位势为 0?x?? zf?????? zfzfzF??? 镜像法以虚轴为边界 z z ? ???( ) f z f z ? ?( ) ( ) ( ) F z f z f z ? ?? 0??0?x 复位势可以增加或减少一个常数,而不影响流体运动, c 可以略去。上式表明当以虚轴为边界时,一个点涡的复位势等于她本身的复位势与其以虚轴为镜面的镜像点处一个反方向旋转的点涡的复位势的迭加。? 0z????? 0z ?????????? 0 00 000 ln ln 2 2 ln ln 2 2 ln2 i i F z z z z z i i z z z z c z z ic z z ? ?? ??? ??? ????? ??? ???????? ?? oz?以点涡为例,由上式在圆上所以实数, 即圆周是一条流线。另一方面,奇点位置,全在圆外,其镜像点位置,全在圆内,圆外未增加奇点。设在无界流体中的复位势为,其所有奇点都在圆外,当在流场中有一个圆心在原点,半径为的圆柱时,满足圆柱面是条流线的复位势为?? zf az? a 2 ( ) ( ) ( ) a F z f z f z ? ? 2 2 22 , , ( ) ( ), a a z zz a z f f z z z ? ? ???????????zfzfzFaz? 0az a? 0 2 镜像法圆定理?? f z U z ?z aUz af 22?????????????????????z azUzF 2 圆柱的无环量绕流平行流的复位势圆柱无环量绕流的复速度势这正是 节所求得到的结果。例1 :设在点有一强度为的点涡, , ,求存在半径为的圆周时的复位势 0zz??az? 0???? 0 ln 2 f z z z