文档介绍：奥林匹克数学的技巧(上篇)有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学,通常的情况是,在一般思维规律的指导下,灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中,经常使用一些方法和原理(如探索法,构造法,反证法,数学归纳法,以及抽屉原理,极端原理,容斥原理,,),同时,也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过:“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技,它既是使用数学技巧的技巧,又是创造数学技巧的技巧,更确切点说,这是一种数学创造力,一种高思维层次,高智力水平的艺术,一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。”奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。2-7-1构造它的基本形式是:以已知条件为原料、以所求结论为方向,构造出一种新的数学形式,使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形,构造方程,构造恒等式,构造函数,构造反例,构造抽屉,构造算法等。例2-127一位棋手参加11周(77天)的集训,每天至少下一盘棋,每周至多下12盘棋,证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。证明:用a表示这位棋手在第1天至第n天(包括第n天在内)所下的总盘数(n1,2,⋯77),n依题意1aa⋯a**********考虑154个数:a1,a2,⋯,a77,a121,a221,a7721又由a7721**********,即154个数中,每一个取值是从1到153的自然数,因而必有两个数取值相等,由于ij时,aaa21a21iiij故只能是,21(771)aaij满足aiaj21ij这表明,从i1天到j天共下了21盘棋。这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序,并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”,其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。例2-128已知x,y,z为正数且xyz(xyz)1求表达式(xy)(yz)的最最小值。axy解:构造一个△ABC,其中三边长分别为byz,则其面积为czx(p(pa)(pb)(pc)(xyz)xyz1另方面()()22xyyzabsinC故知,当且仅当∠C=90°时,取值得最小值2,亦即222(xy)(yz)(xz)y(xyz)xz时,(xy)(yz)取最小值2,如xz1,y21时,(xy)(yz)2。2-7-2映射它的基本形式是RMI原理。令R表示一组原像的关系结构(或原像系统),其中包含着待确定的原像x,令M表示一种映射,通过它的作用把原像结构R被映成映象关系结构R*,其中自然包含着未知原像x的映象x*。如果有办法把x*确定下来,则通过反演即逆映射IM1也就相应地把x确定下来。取对数计算、换元、引进坐标系、设计数学模型,构造发生函数等都体现了这种原理。建立对应来解题,也属于这一技巧。例2-129甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,,直到有一方队员全被淘汰为止,另一方获得胜利,形成一种比赛过程,那么所有可能出现的比赛过程的种数为。解设甲、乙两队的队员按出场顺序分别为A1,A2,,,A7和B1,B2,,B7。如果甲方获胜,设A获胜的场数是ix,则0x7,1i7而且iixx⋯x(*)1277容易证明以下两点:在甲方获生时,(i)不同的比赛过程对应着方程(*)的不同非负整数解;(ii)方程(*)的不同非负整数解对应着不同的比赛过程,例如,解(2,0,0,1,3,1,0)对应的比赛过程为:A1胜B1和B2,B3胜A1,A2和A3,A4胜B3后负于B4,A5胜B4,B5和B6但负于B7,最后A6胜B7结束比赛。故甲方获胜的不同的比赛过程总数是方程(*)的非负整数解的个数7C。13解二建立下面的对应;集合A1,A2,⋯,A7的任一个7-可重组合对应着一个比赛过程,且这种对应也是一个一一对应。例如前述的比赛过程对应的7-可重组合是A1,A2,A3,A4,A5,A6所以甲方获胜的不同的比赛过程的总数就是集合A1,A2,⋯,A7的7-。77113n例2-130设p(k)表示n个元素中有k个不动点的所有排列的种数。求证nkp(k)n!nk0证明设Sa1,a2,⋯,an。对S的每个排列,将它对应向量(e1,e2,⋯,en),其中每个e0,1,当排列中第i个元素不动时,ei1,否则为0。于是pn(k)中所计数的任一排列所对应i的向量都恰有k个分量为1,所以n!个排列所对应的那些向量中取值为1的分量的总数为nkp(k)。nk1另一方面,对于每个i,1in,使得第i个元素不动的排列共有(n1)!个,从而相应的n维向量中,有(n1)!个向量的第i个分量为1。所以,所有向量的取值为1的分量总数n(n1)!n!,n从而得到kp(k)n!nk1例2-131在圆周上给定2n1(n3)个点,从中任选n个点染成黑色。试证