文档介绍：高等数学教案一、课程的性质与任务高等数学是计算机科学与技术;信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课,通过本课程的学习,也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”,“微积分”,“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算;同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时,要着眼于提高学生的数学素质,培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。第一章:,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。、单调性、周期性和有界性。,了解反函数及隐函数的概念。。,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系。。,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。第一节:映射与函数一、集合1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称第-1–页为该集合的元素表示方法:用A,B,C,D表示集合;用a,b,c,d表示集合中的元素1)A{a1,a2,a3,}2)A{xx的性质P}元素与集合的关系:aAaA一个集合,若它只含有有限个元素,则称为有限集;不是有限集的集合称为无限集。常见的数集:N,Z,Q,R,N+元素与集合的关系:A、B是两个集合,如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记作AB。如果集合A与集合B互为子集,则称A与B相等,记作AB若作AB且AB则称A是B的真子集。空集:A2、集合的运算并集AB:AB{x|xA或xB}交集AB:AB{x|xA且xB}差集AB:AB{x|xA且xB}全集I、E补集CA:集合的并、交、余运算满足下列法则:交换律、ABBAABBA第-2–页结合律、(AB)CA(BC)(AB)CA(BC)分配律(AB)C(AC)(BC)(AB)C(AC)(BC)对偶律(AB)AcB(AB)c笛卡儿积A×B{(x,y)|xA且yB}3、区间和邻域开区间(a,b)闭区间a,b半开半闭区间a,ba,b有限、无限区间邻域:U(a)U(a,){xaxa}a邻域的中心邻域的半径去心邻域U(a,)左、右邻域二、,Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中的每一个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作第-3–页f:XY其中y称为元素x的像,并记作f(x),即yf(x)注意:1)集合X;集合Y;对应法则f2)每个X有唯一的像;每个Y的原像不唯一3)单射、满射、双射2、映射、复合映射三、函数1、函数的概念:定义:设数集DR,则称映射f:DR为定义在D上的函数记为yf(x)xD自变量、因变量、定义域、值域、函数值用f、g、函数相等:定义域、对应法则相等自然定义函数;单值函数;多值函数、:1)y=22)y=x1x0y0x03)符号函数1x04)取整函数yx(阶梯曲线)5)分段函数y21xx0xx112、函数的几种特性第-4–页1)函数的有界性(上界、下界;有界、无界)有界的充要条件:既有上界又有下界。注:不同函数、不同定义域,有界性变化。2)函数的单调性(单增、单减)在x1、x2点比较函数值f(x1)与f(x2)的大小(注:与区间有关)3)函数的奇偶性(定义域对称、f(x)与f(x)关系决定)图形特点(关于原点、Y轴对称)4)函数的周期性(定义域中成立:f(xl)f(x))3、反函数与复合函数1,称此映反函数:函数f:Df(D)是单射,则有逆映射f(y)x射1f为f函数的反函数函数与反函数的图像关yx于对称复合函数:函数ug(y)定义域为D1,函数yf(x)在D上有定义、且f(D)D1。则ug(f(x))gf(x)为复合函数。(注意:构成条件)4、函数的运算和、差、积、商(注:只有定义域相同的函数才能运算)5、初等函数:1)幂函数:ayx2)指数函数:yxa3)对数函数yloga(x)4)三角函数第-5–页ysin(x),ycos(x),ytan(x),ycot(x)5)反三角函数yarcsin(x),oxs)(yarctan(x)ot(x)以上五种函数为基本初等函数6)双曲函数shxxee2xchxxee2xt