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文档介绍：第3章张量函数及其导数2020年4月14日主要内容o张量函数、各向同性张量函数的定义和例o矢量的标量函数0二阶张量的标量函数o二阶张量的二阶张量函数o张量函数导数的定义,链规则o矢量的函数之导数0二阶张量的函数之导数张量函数、各向同性张量函数的定义和例要研究导数,必须引进函数。张量函数,有各种类型。例如,张量的标量函数:W=-:8E:E:a例如,张量的张量函数:=E:EH=H(T1T2,…Tn)H=cT+c2T2+…+c张量函数、各向同性张量函数的定义和例各向同性张量函数(客观性背景)可先看各向同性标量函数:在坐标系刚性旋转变换下,(T)=f(Ti)例如:nvv2=÷mvf(r)=TT=TT张量函数、各向同性张量函数的定义和例等价表示或等价描述:上述各向同性函数的描述,虽然清晰,但很不方便,因为坐标系要旋转。问题:能否找到一种等价描述,在该描述下,坐标系保持不动?经典《解析几何》中,解析地描述一个几何图形的运动,有两种不同的思想。一种思想:图形不动,移动坐标。但运动是相对的,于是另一种思想:坐标不动,图形移动。注意:运动学思想之重要!张量函数、各向同性张量函数的定义和例考察一个最简单的图形,一个矢量。研究两种相对的旋转运动下,矢量的表达,以及矢量的标量函数的表达。一种旋转运动,矢量不动,坐标系顺时针旋转一个角度,函数不变:另一种旋转运动,坐标系不动,矢量逆时针旋转同个角度,函数不变ie-Q-u9f-u/(eo=5(u)=f(u)进一步f(ap=f(eu=f(u)张量函数、各向同性张量函数的定义和例矢量Ⅱ的旋转量:Q·u二阶张量T的旋转量:QTQ进一步看:张量函数、各向同性张量函数的定义和例把上述思想推广至一般情形:各向同性张量函数函数x=f(X1,L,X)满足当自变量X1,L,Xn改为其旋转量L,‰时,函数值必相应地变为其旋转量别,即:通过正交变换,使X;→>‰从而使x>别‰f(8),(=,n)张量函数、各向同性张量函数的定义和例o各向同性张量函数例子请见《张量分析》的92~93页。矢量的标量函数Cauchy基本表示定理矢量v(i=1,,m)的标量函数f(v)为各向同性分f可表示为内积v1,(i=1,2,L,m)的函数。推论:矢量卩的标量函数f(v)为各向同性分f可表示为f(p)