文档介绍：一、二次型及其矩阵表示三、正定二次型(重点) 二、化二次型为标准形(重点) 第第5 5, ,6 6, ,7 7节节二次型及其标准形二次型及其标准形四、小结问题的引入在平面解析几何中, 我们知道标准方程 1 22??yBxA中 222Ryx??的图形为圆。 1 2 22 2??b ya x的图形为椭圆。 1 2 22 2??b ya x的图形为双曲线。对于一般二次曲线 d cy bxy ax??? 2 2的图形是什么? 引例取, cos sin sin cos ???????????????yxy yxx二次曲线 1 2 2???y xy x?? 2 2 2 2 1 , 223 y x ? ?? ?? ?? ?? ?,4 ???引入坐标变换代入方程左边, 22??vu ?????则原方程化为若取 2 yxu??yv2 3?可见,对于一般二次曲线?? 1 2 2d cy bxy ax???只要适当选择,?作旋转变换, cos sin sin cos ???????????????yxy yxx就可将曲线方程化为标准方程 DyBxA???? 22(二次齐次式,只含平方项) 就可以判别二次曲线( 1)的图形。二次曲面也有类似的问题, 。在数学、物理及力学和工程也有类似的问题, 且其变量的个数往往不止两个的二次齐次式, 也可通过适当的线性变换,化为只含平方项的一. 二次型及其矩阵表示 1. 二次型、二次型的矩阵、二次型的秩 、二次型的矩阵、秩 2. 可逆线性变换 。(1) 含有个变量的二次齐次多项式 1 2 , , , n x x x ? n 定义 1: nnnn nn nnn nxxaxxa xxaxxaxxa xaxaxaxxxf 1,1 3223 113113 2112 2 2222 21 11 2122 222 ),,,( ?????????????????(我们仅讨论实二次型) 实二次型: 为实数。 ija 复二次型: 为复数。 ija 例如: 2 2 ( , ) 4 5 f x y x xy y ? ?? 2 2 ( , , ) 2 f x y z x y xz yz ? ??? 1 2 3 4 1 2 2 3 2 4 ( , , , ) f x x x x x x x x x x ? ???????都是二次型。 2 2 ( , ) 5 f x y x y ? ?? 2 2 ( , ) 2 2 f x y x y x ? ?????不是二次型。只含有平方项的二次型 2222 211nnykykykf?????称为二次型的标准形。例如: ?? 31 23 22 213214542,,xxxxxxxxf????都为二次型; ?? 23 22 2132144,,xxxxxxf???为二次型的标准形。?? 323121321,,xxxxxxxxxf??? 2 2 1 1 11 12 2 2 1 21 1 22 2 1 1 2 2 2 2 12 n n n n n n nn n n n f a a x a x a x a xx a x x x x x a a a xx xx x ? ???? ????? ??????? ij ji a a ?取2 ij i j ij i j ji i j a x x a x x a x x ? ?则则( 1)式可以表示为 11 1 12 2 1 1 ( ) n n a x a x x xa ? ???? 21 1 22 2 2 2 ( ) n n a x a x x xa ? ?????? 1 1 2 2 ( ) n n nn n n a x a x x a x ? ????, 1 n ij i j i j a x x ???二次型用和号表示