文档介绍：2011年第3期??????????牡丹江教育学院学报?????????? No?3,2011 (总第127期) ? JOURNALOFMUDANJIANGCOLLEGEOFEDUCATION??SerialNo?127 [收稿日期]2010?09?21 [作者简介]张月华(1966-),女,河南范县人,濮阳职业技术学院讲师,研究方向:高等数学与研究。求函数最值常用的方法张?月?华(濮阳职业技术学院,河南?濮阳?457000) ??[摘?要]?本文结合实例综述了求函数最值常用的方法,即配方法、单调性法、判别式法、不等式法、换元法、数形结合法、线性规划法、导数法、向量法和平方法等。[关键词]?函数;最大值;最小值;方法[中图分类号]B83????[文献标识码]A????[文章编号]1009?2323(2011)03?0127?02 ??函数最值问题是数学教学中常见的问题,由于其解法灵活,综合性强,能力要求高,因此要求学生应掌握数学各分支知识,能综合运用数学各方面技能,正确选择解题方法,才能巧妙解决这类问题。下面列举求函数最值常用的几种方法: 一、配方法配方法是求二次函数和可化为二次函数的函数最值的基本方法。解题步骤:首先将函数化为F(x)=af 2(x)+ bf(x)+c,然后利用二次函数的性质求出最值。例1?已知函数y=(e x-a) 2+(e -x-a) 2(a?R,a? 0),求函数y的最小值。分析?将函数表达式按e x+e -x配方,转化为关于变量 e x+e -x的二次函数。解?令t=e x+e -x,则f(t)=t 2-2at+2a 2-2 ?t?2 ?f(t)=t 2-2at+2a 2-2=(t-a) 2+a 2-2的定义域为[2,+?) ?抛物线y=f(t)的对称轴为t=a, ?当a?2且a?0时,y min=f(2)=2(a-1) 2, 当a>2时,y min=f(a)=a 2-2. 点评?利用二次函数的性质求最值,要特别注意自变量的取值范围,同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系。注意两点:第一,求二次函数在开区间内的最值,先看对称轴是否在开区间内。若不在,则无最值;若在,再看开口方向,向上有最小值,向下有为最大值。第二,求二次函数在闭区间上的最值,先看对称轴是否在闭区间内。若不在, 则把闭区间两端点处的函数值分别求出,并比较大小,大的为最大值,小的为最小值;若在,把闭区间端点处及顶点处的函数值都求出再比较,大的为最大值,小的为最小值。二、单调性法解题步骤:首先判定函数在给定区间上的单调性,然后依据单调性求函数的最值。例2?已知函数f(x)的定义域是R,对任意的x 1、x 2 ?R,都有f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2),且x>0时,f(x)< 0,f(1)=-[-3,3]上f(x)是否有最值?如果有,求出其最值。解析?令x 1=x 2=0,则f(0)=f(0)+f(0) ?f(0)=0 令x 1=x,x 2=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0 ?f(x)=-f(x),即f(x)是奇函数设x 1、x 2?R,且x 1<x 2,则x 2-x 1>0 所以f(x 2)-f(x 1)=f(x 2)+f(-x 1)=f(x 2-x 1) <0,即f(x 2)<f(x 1),因此f(x)在R上是减函数,