文档介绍：第四章矩阵函数及其应用§1 向量范数§2 矩阵范数§3 向量和矩阵的极限§4 矩阵幂级数§5 矩阵函数§6 矩阵的微分与积分§7 常用矩阵函数的性质§8 矩阵函数在微分方程组中的应用§9 线性系统的能控性与能观测性第四章矩阵函数及其应用 1. 向量范数, 0; | | | | | | | | | | | | V x y V R V x x x x x y x y ??? ??? ?? ?? ??先让我们回顾一下: 若是实内积空间,为任意向量,为实数域中任一元素,则中向量的长度具有下列基本性质: (1)当时,都有(2); (3)。 1. 向量范数第四章矩阵函数及其应用 1. 向量范数 || || || ||>0 | || || || || || , | | || | V P V x x x x P x x x y V x y ?? ???? ???? ?设是数域上的线性空间。若对于中任一向量,有一非负实数与之对应,满足下列三个条件: (1)正定性:当时,都有; (2)齐次性:对于任何,有; (3)三角不等式:对任何,都有定义1 | || || || || || x y x x ?则称非负实数为向量的范数。对于一般的线性空间,没有长度概念。引入某种度量,满足三个性质。第四章矩阵函数及其应用 1. 向量范数 11111 || || max | | - || || | | - || || ( | | ) i i n niinpp p i i xx p x ?????????????几种常见的范数: (1)无穷范数(2) 1范数(3)范数对于内积空间,向量的长度是一种范数。 2-范数第四章矩阵函数及其应用 1. 向量范数 a b 1 2 1 2 || || || || || || || || ,|| || || || a b b a V x x x C C V x x C x x C x ? ?对于任何有限维向量空间上定义的任意两种向量范数及,都存在两个与无关的正的常数,,使得对中任一向量,都有(1) 满足(1)的两个不等式的两种向量范数称为等价有限定维的向注量。:定空间上理1可叙述为的不同向量范:数是理1等价的。第四章矩阵函数及其应用 2. 矩阵范数 || || , 0 || ||>0 || || || || || || || || || || || || || || || || || || || 1 || n n n n n n A P P A A B P A A P A A A B A B AB A B A n n ? ??? ?????? ??? ??? ??:对每个,在上定义一个非负实值函数,若对任意的,满足下列条件: (1)正定性:若(矩阵),则; (2)齐次性:对任意,有; (3)三角不等性:; (4) 则非负定义实函数称为方阵的范数。对于矩阵,既可以看作向量,又有不同于向量的运算。 2. 矩阵范数第四章矩阵函数及其应用 2. 矩阵范数|| || || || || || || | | || || || | 2| n n n A P n x P x Ax A x A