文档介绍：矩阵分析简介定义1 {} 1 k k ∞= A 为 mn × C 中的矩阵序列,其中( ) () k kij a = A j = 1 , 2 , …, n 均成立, 不收敛的矩阵 1 . 矩阵序列如果 ij k ij k aa = ∞→)( lim 对 i = 1, 2 , …, m , 序列称为发散的。又() ij a = A ∈ mn × C 。{} 1 k k ∞= A 收敛,而 A 称为则称矩阵序列矩阵序列{} 1 k k ∞= A 的极限,记为 lim k k →∞= AA 。讨论矩阵序列{} 1 k k ∞= A 的收敛性。 k = A 例1 其中根据定义,只须求出它的每一个元素的极限即可, lim k →∞????= ??????解: 它的极限为: ?????????? 1 1 k k ??+ ???? sin k k 2 k k + k k k e ? 1 因此 lim k →∞= A e 0 1 0 1 1 lim k →∞ lim k →∞ lim k →∞ lim k →∞ lim k →∞由矩阵序列极限的定义可以看出,矩阵序列收敛的性质和数列收敛性质相似。由定义可见, 中的矩阵序列的收敛相当于 mn 个数列同时 mn × C 因此可以用初等分析的方法来研究它。收敛。但同时研究 mn 个数列的极限未免繁琐,我们可以利用矩阵范数来研究矩阵序列的极限。定理 1 则矩阵序列收敛于矩阵 A 的充要条件{} 1 k k ∞= A 首先,利用范数的等价性知,对于中的任意 mn × C 21 kkk ??≤?≤??AAAA AA ∞→ k lim 证: 12 ≥> 存在常数, 使得 k t ? AA = = 0 ∞→ k lim k s ? AA 即有因此,只需证明定理对一种特定的矩阵范数成立即可。{} 1 k k ∞= A mn × C 为 中的矩阵序列, 设? mn × C 为中的 k ? AA 收敛于零。是 t ? s ?和两个矩阵范数, 一种矩阵范数, 即收敛于零是一致的。∑= n j 1 ∑∑== ?≤ m i n j ij k ij aa 11 )( AA k k = ∞→ lim ? lim 0 k k ∞→∞?= AA - 范数加以证明。∞我们选取 1,1 im jn ≤≤≤≤,均有∞- 范数的定义,对于根据因此, ( ) ij k ij aa ?≤ mi≤≤ 1 max ( ) ij k ij aa ? AA ? k ∞= 证毕 AA k k = ∞→ lim ??????????????= 21 01 A lim k F k →∞ A = F = A 10 12 ??= ???? A 推论则证: 需要指出的是,此结论只是充分条件,反过来不一定成立。和矩阵显然有但是矩阵序列 A k 不收敛, 故更不收敛于矩阵。给定矩阵序列, 即结论成立。由 mn × C {} 1 k k ∞= A ∈ A lim k k →∞= AA ,, 并且设, k A A ?≤ AA ? k () 1 k ? 1 1 k + 2 k = A 1 6 = lim k →∞() 22 2 1 112 1 k k ?+++ + ( ) ( )BBAA k k ???= βα{} 1 k k ∞= A {} 1 k k ∞= B mn × C lim k k →∞= AA lim k k →∞= BB () lim , kk k αβαβ→∞+=+ ABAB BBAA k k ??+??≤βα证由( 性质1 和 为中的矩阵序列,并且, 则由定理1,即结论成立。) ( ) kk A BAB αβαβ+?+ , αβ?∈ C 设{} 1 k k ∞= A {} 1 k k ∞= B mn × C nl × C lim k k →∞= AA lim k k →∞= BB lim kk k →∞= AB AB BBAA A B kk k ??+??≤性质2 和分别为和并且, 则证由由定理1和推论可知,结论成立。 ABBA kk ? ABBAB AB A kkk k ?+?= 中的矩阵序列, 设和 A ∈ C n × n 均为可逆矩阵, 设∈ C n × n 中的矩阵序列, {} 1 k k ∞= A lim k k →∞= AA (1,2,) k k = A L 11 lim k k ??→∞= AA 性质 3并且则( ) limdet k k →∞= A 因为( A k ) -1 和 A -1 存在, 所以又有 lim k k →∞= % A k = % A 证( ) det 0 , ≠ A lim 0, k →∞≠% A () () () 11 21 1 () () () 12 22 2 () () () 12 det(