文档介绍：第4章多自由度体系的振动分析本章讨论多自由度体系振动分析的基本方法及多自由度体系的主要动力特征;为抗震计算的应用做准备。 4-1 多自由度体系自由振动多自由度体系振动的一般方程在上章已经得到。下面我们讨论无阻尼情况下自由振动的问题,方程为: 0?? KY YM ??0??YδY ??M 体系的频率、振型等重要动力特性。?多自由度体系的振动频率分析(刚度法) 单自由度体系无阻尼自由振动的解为: 设多自由度体系第 i个运动自由度方向的位移为: ) sin( )(?????tty ii按自由度序号排列成的位移向量可以写成: ) sin( ?????ty将此式代入多自由度体系自由运动方程,整理可得: 0)( 2????M K如果方程存在非零解,则系数行列式必为零,即: 0 2??M K?此为频率方程或特征方程。其中: ?? T 21n?????φ为位移的幅值向量。此为振型方程。) sin( )(????tAty下面推导两个自由度体系的自振频率: 动力学问题将特征方程展开,可得到一个 n次代数方程,求解可得各阶频率: ?? T 21n?????ω特征方程为: 0 2 2 22 21 12 1 2 11???mkk kmk??将行列式展开得: ?? 0 21 21 12 22 11 22 22 1 11 22?????????????mm kkkkm km k??求解一元二次方程得: ?? 21 21 12 22 11 22 22 1 11 2 22 1 11 2,1 24 12 1mm kkkkm km km km k???????????????????????由上式可得到两个自振频率。注意: 21???具体求解过程可参见例 4-1 。矩阵求特征值问题因此: ?多自由度体系的振型分析(刚度法) 求得各阶自振频率后代回振型方程,有: 0)( 2?? ii??M K ni,3,2,1??对于 n个自由度体系, ?? T 21 ni iii?????φ有n个未知数上式为其齐次线性方程组。因为其系数行列式为零,因此独立的方程只有 n -1个, 只能求出 n个未知数的相对值,而不能惟一确定振幅。但可以用来惟一描述振动体系的形状——振型。 0 2 12 2 22 21 12 1 2 11?????????????????????mkk kmk对于两个自由度体系: 振型的标准化:通常取第一个元素为 1。计算机程序中通常对质量归一化,即满足: 1 ?? T? iφMφ i 振型的计算过程可见例题 4-2 。展开得: 0)( 2 12 11 2 11??????kmk0)( 22 2 22 1 21??????mkk利用上面的任一个方程将频率代入可得两个振型: 0)( 2 12 11 2 11 1??????kmk ) /(/ 1 2 11 12 21 11 1mkk????? 0)( 212 11 22 11??????kmk ) /(/ 1 2 11 12 22 12 2mkk?????振型是各自由度按某一频率振动时的位移比。补充例题 1:三层刚架。质量、侧移刚度如图所示。略去横梁变形。试求该刚架的自振频率和主振型。解: (1)求频率 t315 m 1? t270 m 2? t180 m 3?m/ MN 245 k 1? m/ MN 196 k 2? m/ MN 98 k 3?m/ MN 0k 13? m/ MN 98 k 23?? m/ MN 98 k 33? 1m/ MN 196 k 12?? m/ MN 294 k 22? m/ MN 98 k 32??1m/ MN 441 k 11? m/ MN 196 k 21?? m/ MN 0k 31?1???? 0M K 2???频率方程: 010 0 0 00 75 .1t180 110 - 1 - 3 2- 02 -/ MN 98 2????????????????????????即: (2)求振型 010 0 0 00 75 .1m/ MN 98 t180 110 - 1 - 3 2- 02 - 2???????????????????????? m/ MN 98 t180 2????设:0-11 - 0 1 - - 32 - 02 - 75 .???????????????则: s 161 .44 s 140 .29 s 136 .13 655 .3588 .1328 .0 0905 .1524 . 3 2 1 3 2 1 23?????