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习题答案
第 1 章
三、解答题
1.设 P(AB) = 0,则下列说法哪些是正确的?
(1) A 和 B 不相容;
(2) A 和 B 相容;
(3) AB 是不可能事件;
(4) AB 不一定是不可能事件;
(5) P(A) = 0 或 P(B) = 0
(6) P(A –B) = P(A )
解:(4) (6)正确.
2.设 A,B 是两事件,且 P(A ) = ,P(B) = ,问:
(1) 在什么条件下 P(AB)取到最大值,最大值是多少?
(2) 在什么条件下 P(AB)取到最小值,最小值是多少?
解:因为 P(AB) P( A) P(B) P(A B),
又因为 P( B) P(A B) 即 P(B) P(A B) 0. 所以
(1) 当 P( B) P(A B) 时 P(AB)取到最大值,最大值是 P( AB) P( A) =.
(2) P( A B) 1时 P(AB)取到最小值,最小值是 P(AB)=+-1=.
3.已知事件 A,B 满足 P(AB) P(AB ) ,记 P (A) = p,试求 P(B).
解:因为 P(AB) P( AB) ,
即 P(AB) P(A B) 1 P(A B) 1 P( A) P(B) P(AB),
所以 P( B) 1 P(A) 1 p.
4.已知 P(A ) = ,P(A –B) = ,试求 P( AB) .
解:因为 P(A –B) = ,所以 P(A )–P( AB) = , P(AB) = P(A )–,
又因为 P(A) = ,所以 P(AB) =0 .7–=, P( AB) 1 P(AB) .
5. 从 5 双不同的鞋子种任取 4 只,问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?
解:显然总取法有
4
n C 种,以下求至少有两只配成一双的取法 k:
10
法一:分两种情况考虑:
k
1
5
C
2
4
C
1 2
(C2 ) +
2
C
5
其中:
1 2 1 2
C5C (C ) 为恰有 1 双配对的方法数
4 2
法二:分两种情况考虑:
1 1
C C
1
8 6
k C +
5
2!
2
C
5
其中:
1 1
C C
1
8 6
C 为恰有 1 双配对的方法数
5
2!
1 2 1
法三:分两种情况考虑: k C5(C C ) +
8 4
2
C
5
1 2 1
其中: C ( ) 为恰有 1 双配对的方法数
5 C C
8 4
1
2
法四:先满足有 1 双配对再除去重复部分:
1 2
k C5C -
8
2
C
5
法五:考虑对立事件:
4
k C -
10
4
C
5
1
(C2 )
4
其中:
4
C
5
1 4
(C2 ) 为没有一双配对的方法数
法六:考虑对立事件:
k
4
C
10
1
C
10
1
8
C
4!
1
6
C
C
1
4
其中:
1 1 1 1
C10 C C C
8 6 4
4!
为没有一双配对的方法数
k 13
所求概率为 .
p
4
C 21
10
6.在房间里有 10 个人,分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章,任取 3 人记录其纪念章的号码.求:
(1) 求最小号码为 5 的概率;
(2) 求最大号码为 5 的概率.
解:(1) 法一:
2
C 1
5
p ,法二:
3
C 12
10
p
1 2
C A
3 5
3
A
10
1
12
(2) 法二:
2
C 1
4
p ,法二:
3
C 20
10
p
1 2
C A
3 4
3
A
10
1
20
7.将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为 1,2,3 的概率.
解:设 M1, M2, M3 表示杯子中球的最大个数分别为 1,2,3 的事件,则
3
A 3
4
P(M ) ,
1
3
4 8
2 2
C A 9
3 4
P(M ) ,
2
3
4 16
P(M )
3
1
C
4
3
4
1
16
8.设 5 个产品中有 3 个合格品, 2 个不