文档介绍：学 海 无 涯
高考数学总复****第三讲：数形结合
一、专题概述 ---什么是数形结合的思想
数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．
恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个
最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、
大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映 和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象 思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在 研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化， 化难为易，化抽象为直观．
数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形
的结合等．
二、例题分析
1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．
观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互
位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程．
例 1．函数
的图象的一条对称轴方程是：
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（A）
（B）
（C）
（D）
分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答
案，如果对函数 的图象做深入的观察，就可知，凡直线 x=a 通过这一曲 线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将
代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：
，其
中只有–1 是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）
2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．
观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必
须反映出图形中的数量关系．
例 2．问：圆
上到直线
的距离为
的点共有几
个？
分析 由平面几何知：到定直线L： 的距离为 的点的轨迹是平行 L 的两
条直线．因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数．
将圆方程变形为：
，知其圆心是C(-1,-2)，半径 ，而圆心
到定直线L 的距离为 ，由此判定平行于直线 L 且距离为 的两条直线中，一条通过圆
心 C，另一条与圆C 相切，所以这两条直线与圆C 共有 3 个公共点 （如图 1）
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启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既 定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用．
3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．
数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把
握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成， 相互转化．
例 3．判定下列图中，哪个是表示函数
图象．
分
析 由
=
，可知函数
是偶函数，其图象应关于 y 轴对称，因而否定（B）、
（C），又
，
的图象应当是上凸的，（在第Ⅰ象限，函
数 y 单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数
图象．
例 4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛
满液体，经过 3 分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是
圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间 t（分）的函数关系用图 象表示只可能是（）．
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分析 由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H 与 t 的关系不
是（B），下落时间t 越大，液面下落的距离H 应越大，这种变化趋 势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）．
例 5．若复数 z 满足
，且
，则在复平面上对应点的图形面积是多
少？
分析 满足
的复数z 对应点的图形是：以 C(1,1)为圆心，
为半径的圆面，
该圆面与
图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°）
因此所求图形的面积为：
4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性．
在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，
复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间
的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性 的重要手段．
例 6．已知 C<0，试比较
的大小．