文档介绍：初三数学 二次函数 知识点总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念： 一般地，形如
2
y ax bx c（a ，b，c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。 这
里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实
数．
2. 二次函数
2
y ax bx c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2．
⑵ a，b ，c是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．
二、二次函数的基本形式
二次函数的基本形式
2
y a x h k 的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a 0 向上 h，k X=h
x h时， y 随 x 的增大而增大； x h时， y 随
x的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．
a 向下 h，k X=h
0
x h时， y 随 x 的增大而减小； x h时， y 随
x的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式
2
y a x h k ，确定其顶点坐标 h，k ；
⑵ 保持抛物线
2
y ax 的形状不变，将其顶点平移到 h，k 处，具体平移方法如下：
向上(k >0)【或向下 (k <0)】平移 |k |个单位
y=ax2 y=ax 2+k
向右(h>0)【或左 (h<0)】
平移|k|个单位
向右( h>0)【或左( h<0) 】
平移 |k|个单位
向右(h>0)【或左 (h<0)】
平移|k|个单位
向上( k>0) 【或下( k<0)】
平移|k |个单位
y=a( x-h)2
向上(k>0)【或下 (k <0)】平移 |k |个单位
y=a (x-h)2+k
2. 平移规律
在原有函数的基础上 “h值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”．
概括成八个字“左加右减，上加下减” ．
方法二：
2
⑴ y ax bx c
2
沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位， y ax bx c
变成
2
y ax bx c m
2
（或 y ax bx c m
）
2 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y ax2 bx c 变成
⑵ y ax bx c
2 （或 y a(x m)2 b(x m) c ） y a(x m) b(x m) c
四、二次函数
2
y a x h k 与
2
y ax bx c的比较
从解析式上看，
2
y a x h k 与
2
y ax bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前
者，即
y a x
2 2
b 4ac b
2a 4a
，其中
2
b 4ac b
h k
， ．
2a 4a
五、二次函数
2
y ax bx c 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数
2
y ax bx c化为顶点式
2
y a(x h) k ，确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标， 然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为： 顶点、 与 y 轴
的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h，c 、与 x 轴的交点 x1 ，0 ， x2 ，0 （若与 x 轴
没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） .
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点 .
六、二次函数
2
y ax bx c的性质
1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为
x
b
2a
，顶点坐标为
2
b 4ac b
， ．
2a 4a
当
x
b
2a
时， y 随 x 的增大而减小；当
x
b
2a
时， y 随 x 的增大而增大；当
x
b
2a
时， y 有最小
值
2
4ac b
4a
．
2. 当 a 0 时， 抛物线开口向下， 对称轴为 x
b
2a
，顶点坐标为
2
b 4ac b
， ．当
2a 4a
x
b
2a
时， y 随
x 的增大而增大；当
x
b
2a