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向量组的秩 向量组
1, 2 , , n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩 . 记作 r( 1 , 2 , , n)
矩阵等价 A经过有限次初等变换化为 B . 记作： A B
向量组等价
1, 2, , n 和 1, 2 , , n 可以相互线性表示. 记作： 1, 2, , n 1, 2, , n
? 矩阵 A 与 B 等价 PAQ B ， P, Q 可逆 r ( A) r ( B), A, B为同型矩阵 A, B作为向量组等价 , 即：秩相
等的向量组不一定等价 .
矩阵 A 与 B 作为向量组等价
r( , , , n) r( , , , n) r ( 1, 2, n, 1 , 2 , , n )
1 2 1 2
矩阵 A 与 B 等价 .
? 向量组
1, 2, , s 可由向量组 1, 2, , n 线性表示AX B 有解
r( , , , )=
1 2 n
r
( , , , , , , )
1 2 n 1 2 s
r ( , , , ) ≤
1 2 s
r ( , , , ) .
1 2 n
? 向量组 1, 2, , s 可由向量组 1, 2, , n 线性表示, 且 s n，则 1, 2 , , s 线性相关 .
向量组
1, 2, , s 线性无关 , 且可由 1, 2, , n 线性表示, 则 s≤ n .
? 向量组 1, 2, , s 可由向量组 1, 2, , n 线性表示, 且 r ( 1 , 2, , s ) r( 1, 2 , , n ) , 则两向量组等价；
p
教材 94, 例10
? 任一向量组和它的极大无关组等价 . 向量组的任意两个极大无关组等价 .
? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定 .
? 若两个线性无关的向量组等价 , 则它们包含的向量个数相等 .
?设A 是 m n矩阵 , 若 r ( A) m， A的行向量线性无关；
若 r ( A) n ， A的列向量线性无关 , 即：
1, 2 , , n 线性无关 .
√ 矩阵的秩的性质：
① 若A O r( A) ≥ 1 若A O r (A) 0 0 ≤ r (A ) ≤ min( m, n)
m n
T T
② r (A) r( A ) r (A A) p
教材 101, 例15
③ r (kA) r (A) 若k 0
④
若A , B ,若r( AB) 0
m n n s
r( A) r (B) n
B Ax 0
的列向量全部是 的解
⑤ r ( AB) ≤ min r ( A), r (B)
⑥
若A可逆 r ( AB) r (B)
若B可逆 r ( AB) r (A)
即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.
Ax
只有零解
⑦若
r (Am n) n
r ( AB) r (B)
A在矩阵乘法中有左消去律
AB O B O
AB AC B C
；
若
r (Bn s) n
r ( AB) r (B)
B在矩阵乘法中有右消去律.
E O E O
r r
⑧ r (A) r A A
若 与唯一的 等价，称 为矩阵 的 等价标准型.
O O O O
⑨ r (A B) ≤ r (A) r (B) max r ( A), r (B) ≤ r( A,B) ≤ r (A) r (B) p
教材 70
A O O A
⑩ r r (A) r(B)
O B B O
A C
r r (A) r(B)
O B
当A为方阵时
Ax 有无穷多解 A 0
n
表示法不唯一
可由 , , , 线性表示 Ax 有解 r (A) r (A )
1 2 n
, , , 0
线性相关 Ax 有非零解
1 2 n
当 为方阵时
A
Ax 有唯一组解 A 0 克莱姆法则
n
表示法唯一
, , ,
1 2
线
n
性无关 只有零解
Ax
r (A) r (A )
不可由 , , , 线性表示 Ax 无解 r (A) r( A )
1 2 n
教材72
r (A) 1 r ( A )
讲义87
Ax
有无穷多解 其导出组有非零解
○注 ：
Ax
有唯一解 其导出组只有零解
线性方程组的矩阵式 Ax