文档介绍：椭圆知识点
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(Ph PF2 2a F1F2),
这个动点P的轨迹叫椭圆•这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距 •
注意：若PFi | PF2 | 丁汀2，则动点P的轨迹为线段F1F2 ；
若PFi | PF2 | 丁汀2，则动点P的轨迹无图形•
知识点二：椭圆的简单几何性质
2 2 2 2
椭圆：X2 y2 1 (a b 0)与爲 1 (a b 0)的简单几何性质
a b a b
性质
标准方程
图形
焦占
八'、八、、
焦距
范围
对称性
顶点
%
Fi( c,0)，F2(c,0)
Fi(0, c)，F2(0,c)
F1F2 2c
F1F2 2c
b，y
b
a，
a
x
y
x
(a b 0)
2 2
y x
2 .2
a b
2 2
X2 y2 1 (a b 0)
a b
关于x轴、y轴和原点对称
(a,0)，(0, b)
(0, a)，( b,0)
轴长
长轴长=2a，短轴长=2b 长半轴长=a，短半轴长=b (注意看清题目)
离心率
c
e (0 e 1) a
a c ； IA1F 2 I A2 F1 I
a c; a c PF|
(P是椭圆上一点)(不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围)
几点说明t
CO任轴：线段备4空 长夷25 短轴：线殴坷毘*长为2b 炭点在檢轴上〜
（2）对干离心率“因为沙小山所0<e<"
c Jti2 - b2 L 护
由于芒 兰 =所以卍述趙近于1, /•越趙近干0,椭圆越扁平；厂越趙近于6
" a \ «2
办拔資近于已，椭圆越圆"
（阳 观赛下图t \OB2\=by\OF2\=c ,所関坷巧|=心 所叹椭圆的离心率u = cosZOF^
注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，女口：长轴长、短轴长、焦距、离心率等;
②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等
b2
通径：过焦点且垂直于长轴的弦,其长2 —
a
262 最短的焦点弦为通径长一> 整长为Z".
焦点弦：椭圆过焦点的弦。 '
最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时， F1PF2为最大角
椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形
2
FipF2 （注意公式的推导）
焦点三角形的面积SpFlF2 b tan 2，其中
求椭圆标准方程的步骤（待定系数法）•
⑴作判断：依据条件判断椭圆的焦点在 x轴上还是在y轴上.
设方程：
2 2 2 2
依据上述判断设方程为 笃 y2 =1 (a b 0)或X7 爲=1(a b 0)
a b b a
在不能确定焦点位置的情况下也可设 mx2+ ny2= 1(m>0, n>0且n).
v3
或设成 r十p = 1 (用丰声)的形武
Itr f 严
找关系，根据已知条件，建立关于 a, b, c或m, n的方程组.
解方程组，代入所设方程即为所求.
6•点与椭圆的位置关系
2 2
X2 yT<1,点在椭圆内
a b
2 x
~2 a
2
計，点在椭圆