文档介绍：2019 年中考数学试卷
1、如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C=90°，AB=10cm ， AC： BC=4 ：3，点 P 从点 A 出发沿 AB 方向向点 B 运动，速度为 1cm/s，同时点 Q 从点 B 出发沿 B→ C→A 方向向点 A 运动，速度为 2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
1）求 AC、 BC 的长；
2）设点 P 的运动时间为 x（秒）， △PBQ 的面积为 y（ cm2），当 △ PBQ 存在时，求
y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（3）当点 Q 在 CA 上运动，并使 PQ⊥ AB 时，以点 B、P、Q 为定点的三角形与 △ ABC 是否相似，请说明理由；
4）当 x=5 秒时，在直线 PQ 上是否存在一点 M ，使 △ BCM 得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．
2 2 2
解：（ 1）设 AC=4x，BC=3x，在 Rt△ABC中， AC+BC=AB，
即：（ 4x）2+（3x ）2=102，解得： x=2，∴ AC=8cm， BC=6cm；
（2）①当点 Q在边 BC上运动时，过点 Q作 QH⊥AB 于 H，
AP=x，∴ BP=10﹣ x， BQ=2x，∵△ QHB∽△ ACB，
QH
QB
8
1
1
8
4
2
∴
AB
，∴ QH=
x， y=
BP?QH=
（ 10﹣ x）? x=﹣
5
x +8x（ 0＜x≤3），
AC
5
2
2
5
②当点 Q在边 CA上运动时，过点
Q作 QH′⊥ AB 于 H′，
AP=x，
BP=10﹣ x， AQ=14﹣ 2x，∵△ AQH′∽△ ABC，
∴ AQ
QH '
，即： 14 x
QH '
，解得： QH′=3
（14﹣x ），
AB
BC
10
6
5
y= 1 PB?QH′=1 （10﹣ x）?3 （ 14﹣x） = 3 x2﹣ 36 x+42（ 3＜x＜ 7）；
2
2
5
10
5
4 x2
8x(0
x
3)
∴y与 x 的函数关系式为：
y=
5
；
3 x2
36 x
42(3
x 7)
10
5
3）∵ AP=x， AQ=14﹣ x，
∵PQ⊥AB，∴△ APQ∽△ ACB，∴
AP
AQ
PQ ，即： x
14 x
PQ ，
AC
AB
BC
8
10
6
56
14
34
PQ
14
21
BC
解得： x=
，∴ PB=10﹣ x=
，∴
3
9
， PQ=
9
PB
34
17
，
3
AC
9
∴当点 Q在 CA上运动，使 PQ⊥AB 时，以点 B、P、 Q为定点的三角形与△ ABC 不相似；
（4）存在．
理由：∵ AQ=14﹣ 2x=14﹣ 10=4， AP=x=5，∵ AC=8， AB=10，
∴PQ是△ ABC的中位线，∴ PQ∥AB，∴ PQ⊥AC，
∴PQ是 AC的垂直平分线，∴ PC=AP=5，∴当点 M与 P 重合时，△ BCM的周长最小，
∴△ BCM的周长为： MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．∴△ BCM的周长最小值为 16．
2、（ 12 分） 如图，矩形 ABCD 中，点 P 在边 CD 上，且与点 C、 D 不重合，过点 A 作 AP 的垂线与 CB 的延长线相交于点 Q，连接 PQ， PQ 的中点为 M .
求证：△ ADP ∽△ ABQ ；
若 AD=10 ， AB=20 ，点 P 在边 CD 上运动，设 DP=x, BM 2=y，求 y 与 x 的函数关系式，并求线段 BM 长的最小值；
(3) 若 AD=10, AB= a， DP=8 ，随着 a 的大小的变化，点 M