文档介绍：第八章梁的弯曲应力
在工程实践中,有一类杆件承受的是垂直于杆轴线的侧向力作用。在外力作用下杆件
的轴线由直线变成曲线,这种变形形式称为弯曲(bending)。产生弯曲变形的杆件称为梁。
本章首先利用平面截面假设将梁弯曲问题简化为关于曲率与弯矩的一维的问题;推导了对
称梁纯弯曲时的正应力公式,以及剪切弯曲梁的切应力公式;分析了梁的强度条件;讨论
了组合变形的强度条件、复合梁的弯曲、非对称梁的弯曲以及薄壁截面梁的剪切中心等问
题。
§8-1 对称弯曲
(b)
(a)
(c) ( )
(d) e
图 8-1
工程中有一类杆件承受垂直于轴线的侧向力作用,这类杆件的应力分析和挠曲变形问
题可以归结为梁弯曲问题来研究。例如图 8-1a 所示的桥式起重机,可以简化成承受垂直
F q
M
F
F1 2
图 8-2
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向下的分布力和集中力作用下的简支梁(图 8-1b)。常见的梁的形式还有一端固定,一端
自由的悬臂梁(图 8-1c),有一端悬挑在外的外伸梁(图 8-1d),有多个中间支座的连
续梁(图 8-1e)等。在工程结构中有许多梁至少有一个纵向对称面,或者说梁截面有一
个对称轴,这种梁称为对称截面梁,简称为对称梁(symmetrical beam)。图 8-2 例举了一
些常见的对称梁截面。如果外力和外力矩都作用在截面对称轴与梁轴线组成的对称面内,
梁变形后的轴线成为该对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲(plane bending),或
对称弯曲(symmetrical bending)。下面先讨论对称梁的纯弯曲问题。
§8-2 对称梁的纯弯曲
如果某一段梁的截面上剪力为零,弯矩为不等于零的常数,该段梁的弯曲称为纯弯曲
(pure bending)。这一节将考虑对称截面梁的纯弯曲问题。弯矩 M 为常数的一段梁如图 8
-3a 所示,建立直角坐标系,使 x 轴为梁的形心轴,y 轴与截面对称轴一致,x-y 平面为梁
的对称面。
一、几何关系
y
Δx Δx
M M M
对称面
M
z (b)
m m
中性层
x
M M
M M
m m
(a) 图 8-3 (c)
如图 8-3b 所示,考虑受纯弯曲的梁上两段相邻的梁单元的变形。它们的形状和受力
都相同,所以这两单元应该以相同的方式变形。每一单元有一对称面 m-m(图 8-3c)。假
如受力前互相平行且垂直于轴线的端面,变形后成为向外凸曲的面,由于关于 m-m 面的对
称性,每一单元的两个表面都将成为向外凸曲的表面,这样就破坏了梁的几何协调条件。
因此可以推断,纯弯曲梁的横截面,变形后仍保持为平面,并且垂直于梁的轴线。这一推
断在材料力学教材里广泛称为平面截面假设。因为每一个单元经历相同的变形,那么,原
来互相平行的截面在变形后,截面对称轴延长线有公共的交点。梁的轴线变形以后成了以
此点为圆心的圆弧。应该注意,现在并不排除截面在自身平面内的变形的可能性,事实上
截面确实有变形,这一点后面再讨论。
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dθ
ρ-y
y ρ
a a′
Mz M
b b′ z
b b′ y
o o′ x
o o′
c c′
图 8-4
如图 8-4 所示,根据平面截面的推断,变形前在两个截面(ac 和 a’c’)之间沿 x 轴
向所有的线段都有相同的长度。弯曲变形后,梁的顶面的纵向线段 aa′缩短最大,而在底
′的伸长最大。于是可以推断在梁的中间某处(oo′)的线段既不缩短,也
不伸长,仍然保持原来的长度。这一层面称为中性面(neutral surface)或称为中性层(图 8
-5a)。中性面与横截面的交线称为中性轴(neutral axis)。在对称弯曲问题中,梁所承受
的载荷都作用于纵向对称面内,梁的轴线在变形后将成为对称面内的曲线。弯曲变形时,
梁的横截面绕中性轴转动。
中性面处的线段 oo′的长度不变。假设变形后 oo′的曲率半径为ρ。在距离中性面 y 高
度处的线段 bb’变形前与 oo′的长度相同,变形后的长度为(ρ−y)dθ(dθ是梁段左右两截面
的相对转角)。因此,在 y 高度处纵向线段的应变为
()ddρ−−yθρθ y
ε==−(8-1)
x ρdθρ
由上式可见应变εx与y成线性关系。式(8-1)中的负号是由y轴的取向所致。如图 8-4 所
示,由于y轴的正向朝上,中性面以下部位y为负值,εx为正值,表示产生拉应变;中性面
以上部位y为正值,εx为负