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文档介绍：矩阵的分解矩阵的分解 Matrix Factorization and Matrix Factorization and position position 矩阵分解的概述矩阵分解的概述矩阵的分解: 矩阵的分解: A=A A=A 1 1 +A +A 2 2+ +……+ +A A k k矩阵的和矩阵的和 A=A A=A 1 1A A 2 2……A A m m 矩阵的乘积矩阵的乘积矩阵分解的原则: 矩阵分解的原则: 实际应用的需要实际应用的需要理论上的需要理论上的需要计算上的需要计算上的需要显示原矩阵的某些特性显示原矩阵的某些特性矩阵化简的方法之一矩阵化简的方法之一主要技巧: 主要技巧: 各种标准形的理论和计算方法各种标准形的理论和计算方法矩阵的分块矩阵的分块常见的矩阵标准形与分解常见的矩阵标准形与分解常见的标准形常见的标准形等价标准形等价标准形相似标准形相似标准形合同标准形合同标准形本节分解: 本节分解: 三角分解三角分解满秩分解满秩分解可对角化矩阵的谱分解可对角化矩阵的谱分解 nn rmm nmQ00 0IpA ?????????? 1AnnP PJ A ??? T A???A A T T =A =A 相似标准形相似标准形等价标准形等价标准形一、矩阵的三角分解一、矩阵的三角分解方阵的方阵的 LU LU 和和 LDV LDV 分解分解( .61 ) ) LU LU 分解: 分解: A A??F F n n??n n, ,存在下三角形矩阵存在下三角形矩阵 L L, , 上三角形矩阵上三角形矩阵 U U, ,使得使得 A=LU A=LU 。。 LDV LDV 分解分解: :A A??F F n n??n n, , L L、、V V分别是主对角线分别是主对角线元素为元素为 1 1的下三角形和上三角形矩阵, 的下三角形和上三角形矩阵, D D为对为对角矩阵角矩阵, ,使得使得 A=LDV A=LDV 。。已知的方法已知的方法: : Gauss- Gauss- 消元法消元法例题例题 1 1 ( ( P .61 eg1 eg1 ) )设设求求A A的的 LU LU 和和 LDV LDV 分解。分解。结论结论:如果矩阵:如果矩阵 A A能用两行互换以外的能用两行互换以外的初等行变换初等行变换化为阶梯形,则化为阶梯形,则 A A有有 LU LU 分解。分解。????????????542 774 322A 三角分解的存在性和惟一性三角分解的存在性和惟一性定理定理 3 .1( ( P .62 ) ): : ??矩阵的矩阵的 k k 阶主子式阶主子式: :取矩阵的前取矩阵的前 k k行、前行、前 k k列得到列得到的行列式, 的行列式, k=1 k=1 , ,2 2, ,……, ,n n。。??定理定理: : A A??F F n n??n n有惟一有惟一 LDV LDV 分解的充要条件是分解的充要条件是 A A的顺的顺序主子式序主子式 A A k k非零, 非零, k k =1 =1 , ,2 2, ,……, , n-1 n-1 。。??证明过程给出了证明过程给出了 LDV LDV 分解的一种算法。分解的一种算法。??定理定理 3 .2( (P .64 ) )设矩阵设矩阵 A A??F F n n??n n, , rank rank ( (A A) ) =k =k ( (?? n n), ), 如果如果 A A的的j j阶顺序主子式不等于阶顺序主子式不等于 0 0, ,j j =1 =1 , ,2 2, ,……, , k, k, 则则A A有有 LU LU 分解。分解。??定理条件的讨论定理条件的讨论??例题例题 2 2( .65 eg2 eg2 ) ) ?? LU LU 分解的应用举例分解的应用举例二、矩阵的满秩分解二、矩阵的满秩分解定义定义 3 3. .2 2( .66 ) ) 对秩为对秩为 r r 的矩阵的矩阵 A A??F F m m?? n n ,如果存在秩为,如果存在秩为 r r的矩阵的矩阵 B B ??F F m m??r r, ,C C??F F r r??n n, ,则则 A=BC A=BC 为为 A A 的满秩分解。的满秩分解。实用方法:方法实用方法:方法 3 3 例题例题 2 2( (P .69 , , eg5 eg5 ) ) 列满秩行满秩定理定理 3 .2: :任何非零矩阵任何非零矩阵 A A??F F m m??n n都有满秩分解。都有满秩分解。满秩分解的求法: 满秩分解的求法: 方法方法 1 1: : 方法方法 2 2例题例题 1