文档介绍：均值不等式
均值不等式：，当且仅当a=b时，等号成立。
常用变形：；
均值不等式在求最值及参数的取值范围等方面有着广泛的应用，对于给定的函数式或多项式在一定的条件下求最值，一般要通过各种变形或转化，然后运用均值不等式解决。下面结合例题分析。求证：
。
2．均值不等式：
若 （当且仅当“=”号）
证明：
语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
例2．已知
变式一）已知，则的最小值是 。
变式二）设求的最大值。
2．若正数满足，则的取值范围是( B )
A. B. C. D.
例1、求函数的最小值。
【思维过程】
思路：因分母的次数低于分子的次数，可用多项式除法将函数式变形后再运用均值不等式求最值。
解：
当即x=0时等号成立，
【误区点拨】
本题在解答过程中如果选用判别式法往往会陷入困境：。
【思维迁移】
分式函数求最值，如果可表示为的形式，且在定义域内恒正或恒负，则可运用均值不等式来求最值。
例2、已知，求的最小值。
【思维过程】
思路一：将变形为
解法一：
思路二：由变形可得然后将变形。
解法二：
可以验证：两种解法的等号成立的条件均为。
【误区点拨】
常见的错解：①， ②，两式相乘得，。究其原因是：①和②等号成立的条件不同，①成立的条件是，②成立的条件是，从而推出，这与已知条件矛盾。
【思维迁移】
本题涉及常数变形，通过这种变形可以转化表达形式，实现可用均值不等式的形式转化。一般地，可以推广到n个的情形，现仅以三个变量为例说明：
设均为正数，且，求的最小值。
，等号成立的条件是。
例3、求函数的最小值。
【思维过程】
思路：由于所给函数的形式为无理式，直接求解较困难，从所给区间入手，可得一个不等式（当且仅当或时取等号），展开此式讨论即可。
解：即
得
【误区点拨】
按常规思路去解会陷入困境，，平方得
这样求出的不是最小值，而是最大值。
【思维迁移】
本题运用了逆向思维，使问题变得非常简单，因此，当解题思维受阻时，不妨改变思维方向。
例4、已知a,b,c均为，求证：。
【思维过程】
思路：由得或直接由。
证明：均为正数，，
【误区点拨】
在证明过程中，由不能直接用均值不等式，有的用作差比较，结果运算量很大，且又不易化简；有的使用，结果还证明不了，有的在此基础上，设也无法实现解证结果。
【思维迁移】
不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当时，同时除以ab得或。
总之，均值不等式是高中数学的重要内容之一，它是求多项式的最值以及函数的值域的常用方法。在应用均值不等式时，不论怎样变形，均需满足“一正二定三相等”的条件。
【巩固练****br/>1、若求函数最值。 答案：
2、求函数的值域。 答案：[-3，0]
3、已知正数满足求的最小值。答案：
4、已知为正数，且，求的最小值。答案：
5、若，求的最小值。答案：
6、设为整数，求证：。
提示1：应用
左边
;
提示2：应用
同理三式相加即可。
均 值 不 等 式 学****指 要
高三总复****不等式专题
算术平均数与几何平均数之间的不等关系式称为均值不等式（亦称重要不等式或基本不等式），它是不等式的重要内容，也可以说是不等式中的精华。 在证明不等式及利用不等式求最值的问题中有着非常广泛的应用。。
基础知识总结（重点记忆）
如果则（当且仅当时，取“=”）。
如果，都是正数，则（当且仅当时，取“=”）——均值定理。
定义“”叫做、的算术平均数，叫做、的几何平均数，则上述不等式即为“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”。
由“（，都大于0）”可以看出：若= s（为定值），则在时，取得最小值；若= s（为定值），则在时，取得最大值。
八种变式： ① ； ②； ③
④；⑤若b>0,则；⑥a>0,b>0,则；⑦
若a>0,b>0,则； ⑧ 若，则。
上述八个不等式中等号成立的条件都是“”。
均值定理的应用特点（典例剖析）
抓住两边结构进行合理转化
抓住两边结构进行转化是不等式应用的重要一环，根据结论与条件