文档介绍：平面向量基础定理和三角形四心
已知是内一点，面积分别为，，，求证：
图2延长和边相交于点则
图1
图2
推论是内一点，且，则
有此定理可得三角形四心向量式
是重心
是内心
是外心
是垂心
证实：图为三角形垂心，
同理得，
奔驰定理是三角形四心向量式完美统一
“四心”相关向量问题
一．知识梳理：
四心概念介绍：
(1) 重心：中线交点，重心将中线长度分成2：1；
(2) 垂心：高线交点，高线和对应边垂直；
(3) 内心：角平分线交点（内切圆圆心），角平分线上任意点到角两边距离相等；
(4) 外心：中垂线交点（外接圆圆心），外心到三角形各顶点距离相等。
和“重心”相关向量问题
1 已知是所在平面上一点，若，则是( )．
A．关键 B．外心 C．内心 D．垂心
图⑴.
M
图⑵
图⑴
2已知是平面上一定点，是平面上不共线三个点，动点满足，，则轨迹一定经过( ).
A．关键 B．外心 C．内心 D．垂心
【解析】由题意，当初，因为表示边上中线所在直线向量，所以动点轨迹一定经过重心，图⑵.
3 .O是△ABC所在平面内一点，动点P满足（λ∈（0，+∞）），则动点P轨迹一定经过△ABC（ ）
A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心
解：作出图图形AD⊥BC，因为sinB=sinC=AD，
∴=
由加法法则知，P在三角形中线上
故动点P轨迹一定经过△ABC重心
故选：B．
和“垂心”相关向量问题
3 是所在平面上一点，若，则是( )
A．关键 B．外心 C．内心 D．垂心
【解析】由，得，即，所以．同理可证，．∴是垂心．图⑶.
图⑷
图⑶
4已知是平面上一定点，是平面上不共线三个点，动点满足
，，则动点轨迹一定经过( )．
A．关键 B．外心 C．内心 D．垂心
【解析】由题意，
因为，
即,所以表示垂直于向量，即点在过点且垂直于直线上，所以动点轨迹一定经过垂心，图⑷.
5若为所在平面内一点，且
则点是( )
A．关键 B．外心 C．内心 D．垂心
B
C
H
A
图6
证实:
得
即
同理，
故H是△ABC垂心
和“内心”相关向量问题
6已知为所在平面上一点，且，， ．若，则是( )
．A．关键 B．外心 C．内心 D．垂心
图⑹
图⑸
【解析】∵，，则由题意得，
∵，
∴．∵和分别为和方向上单位向量，∴和平分线共线，即平分．
同理可证：平分