文档介绍：第十章 圆锥曲线与方程
考点41 椭 圆
经典示例
（2012，5年经典考点41，经典示例，例1）例1 (2010镇江期末)P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，则△PF1F2周长为________．
答案 16
解析 根据椭圆第一定义，PF1＋PF2＝2a＝10，F1F2＝2c＝6.
所以△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2(a＋c)＝16.
点击 本题考查对椭圆定义的运用．对于由椭圆两个焦点和椭圆上一点所形成的三角形，其周长为定义2a＋2c，其面积为S＝c| yp|≤bc.
（2012，5年经典考点41，经典示例，例2）例2 (2009江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．
答案 2－5
解析 由题得解得交点T，.
所以M，又M在椭圆上，所以
有＋＝1，化简得c2＋10ac－3a2＝0.
即e2＋10e－3＝0，解得e＝2－5.
点击 本题考查两直线的交点求解以及点和椭圆的位置关系和离心率的求解．本题在求解时要注意先通过直线方程求出交点T后，再利用中点得出点M代入椭圆方程得到关于离心率的方程．如果先设直线方程再与椭圆联立，这样计算难度要大一点，合理的运算途径是解析几何的关键．
（2012，5年经典考点41，经典示例，例3）例3 (2012南京二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同的两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．
解析 (1) 由题知b＝＝.
因为离心率e＝＝，所以＝＝.
所以a＝2.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 由题可设点M，N的坐标分别为M(x0，y0)，N(－x0，y0)，则
直线PM的方程为y＝x＋1，①
直线QN的方程为y＝x＋2.②
证法1 联立①②解得x＝，y＝，
即T.
由＋＝1可得x＝8－4y.
因为2＋2＝
＝＝
＝＝1，
所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
证法2 设T(x，y)．
联立①②解得x0＝，y0＝.
因为＋＝1，所以2＋2＝1.
整理得＋＝(2y－3)2，所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.
所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
点击 本题第(1)小问为求椭圆标准方程，第(2)小问为判断两个直线的交点在椭圆上．
由于椭圆标准方程中有两个未知数，故只需要建立两个相互独立的方程，再结合a2＝b2＋c2，即可解出．判断点是否在椭圆上，只需要将点坐标代入方程并化简即可判断，第(2)小问的难度主要是在式子的化简上．
（2012，5年经典考点41，经典示例，例4）例4 (2011常州期末)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(4m,0)(m>0，m为常数)，，过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M，N两点．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若θ＝90°时，＋＝，求实数m的值；
(3) 试判断＋的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．
解析 (1) 因为c＝4m，椭圆离心率e＝＝，
所以a＝5m，所以b＝3m.
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2) 在椭圆方程＋＝1中，令x＝4m，解得y＝±.
因为当θ＝90°时，即直线MN⊥x轴，此时MF＝NF＝.
所以＋＝.
因为＋＝，所以＝，解得m＝.
(3) ＋的值与θ的大小无关．
证明如下：
证法1 设点M，N到右准线的距离分别为d1，d2.
因为＝，＝，所以＋＝＋.
又由图可知，MFcosθ＋d1＝－c＝，
所以d1＝，即＝.
同理，＝cos(π－θ)＋1＝－cosθ＋1.
所以＋＝＋－cosθ＋1
＝.
所以＋＝·＝.
显然该值与θ的大小无关．
证法2 当直线MN的斜率不存在时，由(2)知，＋的值与θ的大小无关；
当直线MN的斜率存在时，
设直线MN的方程为y＝k(x－4m)，代入椭圆方程＋＝1，得
(25k2＋9)x2－200mk2x＋25m2(16k2－9)＝0.
设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．
因为Δ＞0恒成立，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝.
因为＝，＝，
所以MF＝5m－x1，NF＝5m－