文档介绍：导数和函数零点专题
研究方程根或函数零点情况，能够经过导数研究函数单调性、最大值、最小值、改变趋势等，依据题目要求，画出函数图象走势规律，标明函数极(最)值位置，经过数形结合思想去分析问题，能够使问题求解有一个清楚、直观整体展现．
例题精讲
例1、已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0，2)处切线和x轴交点横坐标为－2.
(1)求a；(2)证实：当k<1时，曲线y＝f(x)和直线y＝kx－2只有一个交点．
解析：f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.
曲线y＝f(x)在点(0，2)处切线方程为y＝ax＋2，由题设得－＝－2，所以a＝1.
(2)证实 由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2，设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.
由题设知1－k>0.
当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根．
当x>0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．
h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.
所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根．
综上，g(x)＝0在R有唯一实根，即曲线y＝f(x)和直线y＝kx－2只有一个交点．
例2、已知函数.
(I)讨论单调性；(II)若有两个零点，求取值范围.
【解析】（Ⅰ）．
（ i ）当初，则当初，；当初，
故函数在单调递减，在单调递增．
（ ii ）当初，由，解得：或
①若，即，则，
故在单调递增．
②若，即，则当初，；当初，
故函数在，单调递增；在单调递减．
③若，即，则当初，；当初，；
故函数在，单调递增；在单调递减．
（Ⅱ）（i）当初，由（Ⅰ）知，函数在单调递减，在单调递增．
又∵，取实数满足且，则
∴有两个零点．
（ii）若，则，故只有一个零点．
（iii）若，由（I）知，当，则在单调递增，又当初，，故不存在两个零点；
当，则函数在单调递增；在单调递减．又当初，，故不存在两个零点．
总而言之，取值范围是．
例3、设函数.
（I）求曲线在点处切线方程；
（II）设，若函数有三个不一样零点，求c取值范围；
（III）求证：是有三个不一样零点必需而不充足条件.
解：（I）由，得．
因为，，所以曲线在点处切线方程为．
（II）当初，，所以．
令，得，解得或．
和在区间上情况以下：
所以，当且时，存在，，
，使得．
由单调性知，当且仅当初，函数有三个不一样零点．
（III）当初，，，
此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不一样零点．
当初，只有一个零点，记作．
当初，，在区间上单调递增；
当初，，在区间上单调递增．
所以不可能有三个不一样零点．
总而言之，若函数有三个不一样零点，则必有．
故是有三个不一样零点必需条件．
当，时，，只有两个不一样
所以不是有三个不一样零点充足条件．
所以是有三个不一样零