文档介绍：ROC曲线及AUC计算
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(2012-03-23 10:04:31)
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让我们从头说起，首先AUC是一种用来度量分类模型好坏的一个标准。这样的标准其实有很多，例如：大约10年前在machine learning文献中一统天下的标准：分类精度；在信息检索(IR)领域中常用的recall和precision，等等。其实，度量反应了人们对” 好”的分类结果的追求，同一时期的不同的度量反映了人们对什么是”好”这个最根本问题的不同认识，而不同时期流行的度量则反映了人们认识事物的深度的变化。近年来，随着machine learning的相关技术从实验室走向实际应用，一些实际的问题对度量标准提出了新的需求。特别的，现实中样本在不同类别上的不均衡分布(class distribution imbalance problem)。使得accuracy这样的传统的度量标准不能恰当的反应分类器的performance。举个例子：测试样本中有A类样本90个，B 类样本10个。分类器C1把所有的测试样本都分成了A类，分类器C2把A类的90个样本分对了70个，B类的10个样本分对了5个。则C1的分类精度为 90%，C2的分类精度为75%。但是，显然C2更有用些。另外，在一些分类问题中犯不同的错误代价是不同的(cost sensitive learning)。这样，。
为了解决上述问题，人们从医疗分析领域引入了一种新的分类模型performance评判方法——ROC分析。ROC分析本身就是一个很丰富的容，有兴趣的读者可以自行Google。由于我自己对ROC分析的容了解还不深刻，所以这里只做些简单的概念性的介绍。
ROC的全名叫做Receiver Operating Characteristic，其主要分析工具是一个画在二维平面上的曲线——ROC curve。平面的横坐标是false positive rate(FPR)，纵坐标是true positive rate(TPR)。对某个分类器而言，我们可以根据其在测试样本上的表现得到一个TPR和FPR点对。这样，此分类器就可以映射成ROC平面上的一个点。调整这个分类器分类时候使用的阈值，我们就可以得到一个经过(0, 0)，(1, 1)的曲线，这就是此分类器的ROC曲线。一般情况下，这个曲线都应该处于(0, 0)和(1, 1)连线的上方。因为(0, 0)和(1, 1)连线形成的ROC曲线实际上代表的是一个随机分类器。如果很不幸，你得到一个位于此直线下方的分类器的话，一个直观的补救办法就是把所有的预测结果反向，即：分类器输出结果为正类，则最终分类的结果为负类，反之，则为正类。虽然，用ROC curve来表示分类器的performance很直观好用。可是，人们总是希望能有一个数值来标志分类器的好坏。于是Area Under roc Curve(AUC)就出现了。顾名思义，AUC的值就是处于ROC curve下方的那部分面积的大小。通常，，较大的AUC代表了较好的performance。好了，到此为止，所有的前续介绍部分结束，下面进入本篇帖子的主题：AUC的计算方法总结。
 
最直观的，根据AUC这个名称，我们知道，计算出ROC曲线下面的面积，就是AUC的值。事实上，这也是在早期Machine Learning文献中常见的AUC计算方法。由于我们的测试样本是有限的。我们得到的AUC曲线必然是一个阶梯状的。因此，计算的AUC也就是这些阶梯下面的面积之和。这样，我们先把score排序(假设score越大，此样本属于正类的概率越大
)，然后一边扫描就可以得到我们想要的AUC。但是，这么做有个缺点，就是当多个测试样本的score相等的时候，我们调整一下阈值，得到的不是曲线一个阶梯往上或者往右的延展，而是斜着向上形成一个梯形。此时，我们就需要计算这个梯形的面积。由此，我们可以看到，用这种方法计算AUC实际上是比较麻烦的。
 
一个关于AUC的很有趣的性质是，它和Wilcoxon-Mann-Witney Test是等价的。这个等价关系的证明留在下篇帖子中给出。而Wilcoxon-Mann-Witney Test就是测试任意给一个正类样本和一个负类样本，正类样本的score有多大的概率大于负类样本的score。有了这个定义，我们就得到了另外一中计算AUC的办法：得到这个概率。我们知道，在有限样本中我们常用的得到概率的办法就是通过频率来估计之。这种估计随着样本规模的扩大而逐渐逼近真实值。这和上面的方法中，样