文档介绍：方差一. 定义与性质方差是衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征。如何定义? 引例甲、乙两射手各打了 6 发子弹,每发子弹击中的环数分别为: 甲10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙8, 7, 10, 9, 8, 8, 问哪一个射手的技术较好? 解首先比较平均环数甲= , 乙= 有五个不同数有四个不同数再比较稳定程度 34 .13 )()( )()() (2 2 2 2 2 2???????????甲: 乙: 34 .5)( )(3)() ( 2 2 2 2?????????乙比甲技术稳定,故乙技术较好. 进一步比较平均偏离平均值的程度甲])()( )()() (2[6 1 2 2 2 2 2??????????乙])()(3 )() [(6 1 2 2 2 2???????? 22 .26/ 34 . 13?? 89 .06/ 34 .5??????? 51 2)( k k kpXEx????? 41 2)( k k kpXEx E [ X - E (X )] 2 一、方差的定义又记)()(XDX??称为 X的标准差或均方差。)(XD 设X是随机变量,若期望存在,则称它为随机变量 X的方差,2 )]([XEXE?? 2 )]([XEXE?记为)()(X Var XD或)()(X Var XD?关于方差的定义和计算作如下的说明: 1)为什么用的均值来衡量随机变量 X与均值的分散程度? 2 )]([XEX? 2 )]([XEXE?)(XE 7 首先想到的应该是用的均值来表示, 但由于会有正有负,相互抵消,因此不能刻划随机变量 X 取值的分散程度.)(XEX?)(XEX?)]([XEXE? E(X) 2)由定义知,方差实际上就是随机变量 X的函数的数学期望。 2 )]([)(XEXXg??对于离散型随机变量,设其分布律为 kkpxXP??}{?,,k21?则kk kpXExXD????? 1 2 )]([)( 8 如果用加绝对值的期望值来刻划随机变量 X 的分散程度,因计算不方便,故采用的期望来刻划随机变量 X的分散程度。)(XEX?|)(|XEX? 2 )]([XEX? 2 )]([XEXE?对连续型随机变量,设 X的概率密度函数为)(xf 则 dx xfXExXD)( )]([)( 2???????证: 2 )]([)(XEXEXD??} )]([)(2{ 22XEX XE XE??? 22 )]([)(XEXE??在已知的情况下,用上式计算方差,只需求出即可。)(XE)( 2XE 9 22 )]([)()(XEXEXD?? 3) 常用的计算方差之公式二、方差的性质①0)(?cD c为常数②)()( 2XDc cX D? c为常数③设X和Y相互独立, 存在)( ),(YDXD 则)()()(YDXDYXD???的充要条件是: X依概率 1取常数 c,即 0)(?XD1}{??cXP ④)(XEC?其中证: 这里对②③性质进行证明, ④的证明超过范围②2 )]([)( cX E cX E cX D??} )]([{ 22XEXcE?? 22 )]([XEXEc??)( 2XDc? 10 ③} )]() {[( )( 2YXEYXEYXD????? 2 )]} ([ )]( {[YEYXEXE???? 2 )]([XEXE??)]} ([ )]( {[2YEYXEXE???? 2 )]([YEYE??)()(YDXD??)]} ( )][ ( {[2YEYXEXE???同理可得)()()(YDXDYXD???)]} ( )][ ( {[2YEYXEXE???合并两式: )()()(YDXDYXD???)]} ( )][ ( {[2YEYXEXE???? X与Y独立, 也相互独立)(XEX?)(YEY?故与由数学期望性质④可得)]} ( )][ ( {[YEYXEXE???)()()(YDXDYXD???此性质可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。 0 )]([ )]([?????YEYEXEXE 11 例1 设随机变量 X具有概率密度求 D(X) ?????????????其它,0 10,1 01,1)(xx xxxf解: 0)1()1()( 10 01????????dx xxdx xxXE6 1)1()1()( 10 2 01 22????????dx xxdx xxXE于是 6 1 )]([)()( 2 2???XEXEXD