《线性代数》4.2相似矩阵与矩阵的对角化.ppt

文档介绍：相似矩阵与矩阵的对角化
一、相似矩阵及其性质
二、n阶矩阵与对角矩阵相似的条件
1 相似矩阵及其性质
定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得
P-1AP=B
成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.
相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足
自反性： A~ A
对称性：若A~B，则B~A
传递性：若A~B，B~C，则 A~C
定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.
证明：因为P-1AP=B，
A与B有相同的特征多项式，
|lE-B|
=|P-1(lE)P -P-1AP |
=|lE-P-1AP|
=|P-1(lE-A)P|
=|P-1||lE-A||P|
=|lE-A|，
所以它们有相同的特征值.
定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得
P-1AP=B
成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.
假如A与对角矩阵相似，对角矩阵对角线上的元素即A的特征值
注： 有相同的特征多项式的方阵不一定相似.
例：
特征多项式均为(l-1)2,但不存在P-1EP=A.
相似矩阵还具有下述性质：
(1)相似矩阵有相同的秩；
(2)相似矩阵的行列式相等；
(3)相似矩阵的迹相等；
定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.
(4) Am~Bm ,m为正整数.
解：由于A和B相似，所以Tr(A)=Tr(B), |A|=|B| , 即
解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|, 即
|A|=|D|＝12.
例1. 若矩阵
相似，求x,y.
解得
例2. 设3阶方阵A相似于
,求|A|.
定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 ,  , ln)
相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.
2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件
例如，矩阵A= 有两个不同的特征值l1=4,l2=-2,
1
-5
1
1
其对应特征向量分别为x1= ，x2= .
1
1
-5
1
取P=(x1, x2)= ，则
1
-5
1
1
所以A与对角矩阵相似.
P-1AP
-1
1
-5
-1
1
6
=- —
5
-1
3
1
1
-5
1
1
0
-2
4
0
=
，
问题：若取P=(x2, x1)，问L=？
称为A可对角化
推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则A与对角矩阵 L=diag(l1 , l2 ,  , ln) 相似.
注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件,
而不是必要条件.
且有Ax1=-2x1， Ax2=x2， Ax3=x3，向量组是A的线性无关的
特征向量. 所以当P=(x1, x2, x3 )时，有
例如，A= ，x1= ，x2= ，x3= ，
4
-3
-3
6
-6
-5
0
1
0
-1
1
1
-2
0
1
0
1
0
P-1AP= diag(-2, 1, 1) .
A=
1
6
3
-3
-6
-5
3
4
3
(1)
解：(1) 矩阵A的特征方程为
l-1
-6
-3
3
6
l+5
-3
l-4
-3

|lE - A|
矩阵A的特征值为
l1l2=-2, l34，
对于特征值l3=4 ，解线性方
程组(4E-A)Xo，
得其基础解系x3= .
1
1
2
对于特征值l1l2=-2, 解线性
方程组(-2E-A)Xo，
1
1
0
-1
0
1
得其基础解系x1= , x2= .
=(l+2)2(l-4)=0，
(2)
-1
1
-4
B=
1
0
3
0
2
0

于对角阵,若相似求可逆矩阵P，
使P-1 A P= L .
由于A有3个线性